概述

在很多實際問題中，往往牽涉多方面的因素，反映到數學上，就是一個變數依賴於多個變數的情形。對應的是多元函式以及多元函式的微分和積分問題。因為從一元函式到二元函式會產生新的問題，而從二元函式到二元以上的多元函式則可以類推，所以討論以二元函式為主

本章包括：多元函式的基本概念、偏導數、全微分、多元複合函式的求導法則、隱函式的求導公式、多元函式微分學的幾何應用、方向導數與梯度、多元函式的極值及其求法、二元函式的泰勒公式、最小二乘法

1、多元函式的基本概念

R2$R^2$中鄰域的概念：在xOy$xOy$平面上，δ$\delta$是某一正數，與點P0(x0,y0)$P_0(x_0,y_0)$距離小於δ$\delta$的點P(x,y)$P(x,y$

利用鄰域來描述點和點集之間的關係：

• 內點：
• 外點：
• 邊界點：
• 聚點：如果對於任意給定的δ>0$\delta >0$，點P的δ$P的\delta$去心鄰域內總有E$E$中的點，那麼稱P$P$是E$E$的聚點

E$E$的邊界點的全體，稱為E$E$的邊界，記作∂E$\mathrm{\partial }E$

E$E$的內點必屬於E$E$；E$E$的外點必定不屬於E$E$；而E$E$的邊界點可能屬於E$E$，也可能不屬於E$E$

E$E$是邊界點一定不是E$E$的內點

點集E$E$的點不一定是E$E$的內點

點集E$E$的點：屬於點集E$E$的點

點集E$E$以及它的邊界∂E$\mathrm{\partial }E$上的一切點都是E$E$的聚點

根據點集所屬點的特徵，定義一些重要的平面點集：

• 開集：
• 閉集：
• 連通集（區域）：
• 區域（開區域）：
• 閉區域：
• 有界集：
• 無界集：

設n$n$為取定的一個正整數，我們用Rn$R^n$表示n$n$元有序實陣列的全體所構成的集合

• 零元：記作0或O$O$

集合中的元素與座標系中的點（或向量）之間有一一對應的關係

定義了線性運算的集合Rn$R^n$稱為n維空間

n維空間中距離的定義：

n維空間中元素x與零元之間的距離的記法，記作||x||$||x||$（在R1、R2、R3中，通常||x||記作|x|$R^1、R^2、R^3中，通常||x||記作|x|$）

n維空間中，變元的極限：變元與固定元之間的距離趨近於零

多元函式的概念

• 二元函式的定義：

二元及以上的函式被稱為多元函式

多元函式的極限

• 二元函式的極限的定義：以任何方式趨近某一點，該點是定義域的聚點

二元函式的極限叫做二重極限

一元函式中關於極限的運演算法則，對於多元函式仍然適用

多元函式的連續性

• 二元函式連續性的定義：該點為定義域的聚點且屬於該定義域（屬於定義域肯定就是定義域的聚點了）

一元基本初等函式看成二元函式或二元以上的多元函式時，它們在各自的定義域內都是連續的

多元函式間斷點和一元函式間斷點的定義是類似的

多元連續函式的和、差、積仍為連續函式；多元連續函式的商在分母不為零處仍連續；多元連續函式的複合函式也是連續函式

• 多元初等函式：由常數及具有不同自變數的一元基本初等函式經過有限次的四則運算和複合運算而得到的可以用一個式子表示的多元函式

一切多元初等函式在其定義區域內是連續的（定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域）

由多元初等函式的連續性，如果要求多元初等函式在點P0$P_0$處的極限，而該點又在此函式的定義區域內，那麼此極限值就是函式在該點的函式值

對於二元函式來說，任何鄰域都是區域

多元初等函式在有界閉區域上的有界性與最大值最小值定理、介值定理、一致連續性定理與一元初等函式類似

2、偏導數

多元函式的自變數不只一個，因變數與自變數的關係要比一元函式複雜的多。所以，我們首先考慮多元函式關於其中一個自變數的變化率

• 二元函式偏導數的定義：注意前提條件和記法

函式關於自變數具有對稱性：當函式表示式中任意兩個自變數對調後，仍表示原來的函式

對於一元函式來說，dydx$\frac{dy}{dx}$可看做函式的微分dy$dy$與自變數的微分dx$dx$之商。但偏導數的記號是一個整體記號，不能看做分子與分母之商

偏導數的幾何意義：對應平面所截得的曲面的曲線在某一點相對於某個座標軸的斜率

如果一元函式在某點具有導數，那麼它在該點必定連續。但對於多元函式來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函式在該點連續（連續要求的是按任何方式趨近）

高階偏導數

二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數

-定理：二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關

對於二元以上的函式，也可以類似地定義高階偏導數，而且高階混合偏導數在偏導數連續的條件下也與求導次序無關

3、全微分

• 偏增量：
• 偏微分：

在實際問題中，有時需要研究多元函式中各個自變數都取得增量時因變數所獲得的增量，即所謂全增量的問題

與一元函式類似，我們希望用自變數的增量Δx、Δy$\mathrm{\Delta }x、\mathrm{\Delta }y$的線性函式來近似地代替函式的全增量Δz$\mathrm{\Delta }z$

• 全微分的定義