使用mathematica求解最優化模型
問題
1、彩電生產問題的最優化分析
一家彩電製造商計劃推出兩種新產品：一種19英寸液晶平板電視機，製造商建議零售價為339美元；另一種21英寸液晶平板電視機，零售價為399美元。公司付出的成本為19英寸彩電每臺195美元，21英寸彩電每臺225美元；還要加上400000美元的固定成本。在競爭的銷售市場中，每年售出的彩電數量會影響彩電的平均售價。據估計，對每種型別的彩電，每多售出一臺，平均銷售價格會下降1美分。而且19英寸彩電的銷售會影響21英寸彩電的銷售，反之亦然。據估計，每售出一臺21英寸彩電，19英寸彩電的平均售價會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸彩電，21英寸彩電的平均售價會下降0.4美分。
（1）每種彩電應該各生產多少臺，每種彩電的平均售價是多少？
（2）最大的盈利利潤是多少，利潤率是多少？
2、彩電生產的關稅問題分析
仍然是上述的無約束的彩電問題。由於公司的裝配廠在海外，所以美國政府要對每臺電視機徵收25美元的關稅。
（1）將關稅考慮進去，求最優生產量。這筆關稅會使公司有多少花費？在這筆花費中，有多少是直接付給政府，又有多少是銷售額的損失？
（2）為了避免關稅，公司是否應該將生產企業重新定址在美國本土上？假設海外的工廠可以按每年200000美元的價格出租給另一家制造公司，在美國國內建設一個新工廠並使其運轉起來每年需要花費550000美元。這裡建築費用按新廠的預期使用年限分期償還。
（3）徵收關稅的目的是為了促使製造公司美國國內建廠。能夠使公司願意在國內重新建廠的最低關稅額是多少？
（4）將關稅定得足夠高，使公司要重建工廠。討論生產量和利潤關於關稅的靈敏性。說明實際關稅額的重要性。
解答
一、彩電生產問題的最優化分析
根據五步法求解過程如下：
第一步：提出問題
變數：
s=19英寸彩電的售出數量（每年）
t=21英寸彩電的售出數量（每年）
p=19英寸彩電的銷售價格（美元）
q=19英寸彩電的銷售價格（美元）
C=生產彩電的成本（美元/年）
R=彩電銷售的收入（美元/年）
P=彩電銷售的利潤（美元/年）
假設：
p=339-0.01s-0.003t
q=399-0.004s-0.01t
R=ps+qt
C=400 000+195s+225t
P=R-C
s≥0
t≥0
目標：求P的最大值
第二步：選擇建模方法
這個彩電問題是無約束的多變數最優化問題，這類問題通常用多元積分解決。
第三步：推導數學表示式
P=R-C
= ps+qt-(400 000+195s+255t)
= (339-0.01s-0.003t) s+(399-0.004s-0.01t) t-(400 000+195s+255t)
現在令y=P作為最大值的目標變數，x₁ = s , x₂ = t 作為決策變數，則該問題可以化為針對y=f（x₁,x₂）求最大值，得：
y= f( x₁，x₂)
= (339-0.01 x₁-0.003 x₂) x+(399-0.004 x₁-0.01 x₂) x₂-(400 000+195 x₁+255 x₂)
第四步：求解模型
（1）運用mathematica畫出該函式的圖形
繪製三維模型如下：
圖1 - 繪製三維圖形
繪製等高線如下：
圖2 - 繪製等高線
（2）由於如果用手工方法通過第二步選擇的微積分求解過於複雜，所以我們可以通過mathematica來求解，求解過程如下圖1所示：
圖3 - mathematica求解過程
第五步：回答問題
這家公司可以通過生產4753臺19英寸彩電和7043臺21英寸彩電獲得最大利潤，每年獲得的淨利潤553641美元。每臺19英寸彩電的平均售價為270.52美元，每臺21 英寸彩電的平均售價為309.63美元。生產總支出為2908000美元，相應的利潤率為19%。
二、彩電生產的關稅問題分析
1、第二題第一問
第一步：提出問題
變數：
s=19英寸彩電的售出數量（每年）
t=21英寸彩電的售出數量（每年）
p=19英寸彩電的銷售價格（美元）
q=19英寸彩電的銷售價格（美元）
k=關稅總花費（美元）
C=生產彩電的成本（美元/年）
R=彩電銷售的收入（美元/年）
P=彩電銷售的利潤（美元/年）
假設：
p=339-0.01s-0,003t
q=399-0.004s-0.01t
R=ps+qt
k=25(s+t)
C=400 000+195s+225t
P=R-C-k
s≥0
t≥0
目標：求P的最大值
第二步：選擇建模方法
雖然本次加入關稅，但整體仍是無約束的多變數最優化問題。所以求解思路同上題目。
第三步：推導數學表示式
根據上題已有公式，加入關稅花費k，得到公式如下：
P=R-C-k
= ps+qt-(400 000+195s+255t)-25(s+t)
= (339-0.01s-0.003t) s+(399-0.004s-0.01t) t-
(400 000+195s+255t)-25(s+t)
現在令y=P作為最大值的目標變數，x₁ = s , x₂ = t 作為決策變數，則該問題可以化為針對y=f（x₁,x₂）求最大值，得：
y= f( x₁，x₂)
= (339-0.01 x₁-0.003 x₂) x+(399-0.004 x₁-0.01 x₂) x₂-(400 000+195 x₁+255 x₂)-25(x1+x2)
第四步：求解模型
（1）通過mathematica求解，得到兩種不同英寸最佳分配量，以及關稅總額如下圖所示：
圖4 - mathematica求解過程
（2）計算關稅分配
第五步：回答問題
當考慮了關稅後，應生產19英寸彩電3809臺，21英寸彩電6117臺，可獲得最大利潤282345美元，其中共產生了關稅248148美元。
2、第二題第二問
撤回國內後，生產成本增加量為：
550 000-200 000=350 000
若在海外辦廠，則仍需要交關稅，根據題1所得利潤減去題2（1）問所求利潤得：
553641–283245=271296
271296<350000,所以不應該搬回國內
3、第二題第三問
利用五步法分析結果如下：
第一步：提出問題
變數：
s=19英寸彩電的售出數量（每年）
t=21英寸彩電的售出數量（每年）
p=19英寸彩電的銷售價格（美元）
q=19英寸彩電的銷售價格（美元）
e=關稅額（美元/臺）
v=回國的成本增加額（美元）
k=關稅總花費（美元）
C=生產彩電的成本（美元/年）
R=彩電銷售的收入（美元/年）
P=彩電銷售的利潤（美元/年）
假設：
p=339-0.01s-0,003t
q=399-0.004s-0.001t
R=ps+qt
k=e(s+t)
C=400 000+195s+225t
P=R-C-k
s≥0,t≥0,e≥0
目標：求使得P無關稅-P有關稅max≥v的e的值
第二步：選擇建模方法
本次題目關稅額不定，應求使得廠商能在國內建廠且利潤比國外大的關稅額的點（當且僅當收關稅使得利潤減少額大於等於搬回國內成本）。
第三步：推導數學公式
根據上題以求得公式得到新題設為
553641-P有關稅max≥350000
∴P有關稅max≤203641
∵P有關稅max=(339-0.01s-0.003t)s+(399-0.004s-0.01t)t-
(400000+195s+255t)-e(s+t)
∴ｅ≥[(339-0.01s-0.003t)s+(399-0.004s-0.01t)t-
(400000+195s+255t+203641)]/(s+t)
現在令y=e作為最大值的目標變數，x₁ = s , x₂ = t 作為決策變數，則該問題可以化為針對y=f（x₁,x₂）求最大值，得：
y≥[-603641-195x+(339-0.01x1-0.003x2)x1-225x2+(399-0.004x1-0.01x2)x2]/(x1+x2)
第四步：求解模型
首先，利用mathematica繪製圖行預估最高點：
(1)利用Plot命令繪製三維圖形如下圖所示：
圖5 - 三維圖形繪製
（2）利用ContourPlot命令繪製等高線如下圖所示
圖6 - 等高線繪製
通過上述圖形可以得到最高點大約在x1=4000，x2=6000左右。
利用mathematica求解過程如下：
圖7 - FindRoot求解
第五步：回答問題
根據計算結果可以得出結論，當所收關稅高於33.1787時，公司才會願意搬回國內。
4、第二題第四問
該問的前提是關稅足夠高，使得公司將在美國境內建廠，利潤公式如下：
y=(339-0.01x1-0.003x2)x1+(399-0.004x1-0.01x2)x2-
(400000+195x1+255x2)-e(x1+x2)
其中：
y: 利潤
x1: 19英寸生產量
x2: 21英寸菜彩電生產量
通過mathematica求偏導並令他們為零可以得到如下圖所示：
圖8 - 求偏導
同樣使用工具求解得出x1.x2分別等於如下圖所示：
通過mathematica分別繪製x1和x2的函式圖形如下：
圖9 - x1關於關稅的曲線圖
圖10 - x2關於關稅的曲線圖
下面討論y對e的靈敏度分析，將上面所求的的x1和x2帶入y=f（x1,x2）中，可以得到式子如下
圖11 - 帶入求值
畫出y關於a的表示式如下如下圖所示
圖12 - y關於關稅的曲線圖
通過上述分析可以得出，關稅對於銷量和利潤都有非常大的影響。