旋轉矩陣的推導過程
剛體變換
定義
一個對映g:R3→R3如果滿足一下兩個特性,則是剛體變換 1. 長度保持不變:∥g(p)−g(q)=∥p−q∥, 所有p,q∈R3 2. 叉乘保持不變:g∗(v×w)=g∗(v)×g∗(w),所有向量v,w∈R3
旋轉矩陣
A座標系
XA=[100]T YA=[010]T
在A座標系下的B座標系
XB=cosθXA+sinθYA=[cosθ00]T+[0sinθ0]T=[cosθsinθ0]T YB=−sinθXA+cosθYA=[−sinθ00]T+[0cosθ0]T=[−sinθcosθ0]T
構造矩陣
將XBYB放到一個矩陣裡Rab=[XBYB],將之稱為旋轉矩陣
意義
將一個點的座標值在不同的基底下進行變換 P點在B座標系下為PB(a,b),可以進行一下變換 P=[XBYB][ab]=aXB+bYB=(cosθXA+sinθYA)a+(−sinθXA+cosθYA)b=[XAYA][cosθsinθ−sinθcosθ][ab]=[XAYA]Rab[ab] 可以看到,我們把基底從[XBYB]換成了[XAYA],也就是同一個點,在B座標系下的座標為[ab]T,在A座標系下的座標為R[ab]T,可以理解為是空間中同一個點在不同的座標系中(座標系旋轉了)的表示,也可以理解為同一個座標系下,是點在運動(假設座標系沒動,那麼動的就是點)。
平移變換
剛體變換除了旋轉外還有平移運動,假設變換後的座標系B的原點在原來座標系A下為PAB=[x1y1]T則 PA=RABPB+PAB 結合以上的推導,我們可以將剛體變換寫成齊次座標的形式 PA=[RAB0PAB1][PB1]
以上的推導同樣可以拓展到三維空間裡
繞Z軸旋轉的旋轉矩陣
RZ(θ)=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤
繞Y軸旋轉的旋轉矩陣
RY(θ)=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤
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