一、先來個平面旋轉的分析：

兩角和(差)公式

推導

旋轉變換一般是按照某個圓心點，以一定半徑 r 旋轉一定的角度α，為了簡單起見我們給出下面的情景

假定點A(x,y)想經過旋轉變換到達B(x',y')，已知旋轉角度α和點A座標，計算出點B

要計算點B則分別計算他的x'和y'分量

根據矩陣乘法計算規則，可以推出 

只要給出旋轉角度，計算出矩陣，然後使用這個矩陣分別左乘每一個點，就能計算出這個點旋轉後的點座標 這樣我們就可以通過矩陣變換座標了 

二、延伸到三維座標：

    座標的旋轉變換在很多地方都會用到，比如機器視覺中的攝像機標定、影象處理中的影象旋轉、遊戲程式設計等。

    任何維的旋轉可以表述為向量與合適尺寸的方陣的乘積。最終一個旋轉等價於在另一個不同座標系下對點位置的重新表述。座標系旋轉角度θ則等同於將目標點圍繞座標原點反方向旋轉同樣的角度θ。

    若以座標系的三個座標軸X、Y、Z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直座標軸的平面上作二維旋轉。

   假設三維座標系中的某一向量

                                                                 圖1 直角座標系XYZ

   1、繞Z軸旋轉θ角

    繞Z軸旋轉，相當於在XY平面的投影OM繞原點旋轉，如下圖所示，OM旋轉θ角到OM'。

                                                                   圖2 向量繞Z軸旋轉示意圖

   設旋轉前的座標為，旋轉後的座標為，則點M的座標為，點M'的座標為。由此可得：

    對於和進行三角展開可得：

    且有;可得繞Z軸旋轉角的旋轉矩陣為：

   2、繞X軸旋旋轉θ角

   繞X軸旋轉，相當於在YZ平面的投影ON繞原點旋轉，如下圖所示，ON旋轉θ角到ON'。

                                                                   圖3 向量繞X軸旋轉示意圖

   設旋轉前的座標為，旋轉後的座標為，則點N的座標為，點N'的座標為。由此可得：

    對於和進行三角展開可得：

    且有;可得繞X軸旋轉角的旋轉矩陣為：

    3、繞Y軸旋旋轉θ角

   繞Y軸旋轉，相當於在XZ平面的投影OQ繞原點旋轉，如下圖所示，OQ旋轉θ角到OQ'。

                                                                   圖4 向量繞Y軸旋轉示意圖

   設旋轉前的座標為，旋轉後的座標為，則點Q的座標為，點Q'的座標為。由此可得：

    對於和進行三角展開可得：

    且有;可得繞Y軸旋轉角的旋轉矩陣為：

   4、繞X、Y、Z軸旋轉的旋轉矩陣分別為：