逆元

廣義的來講，對於任何域中的元素，有乘法運算和單位元$I$，如果對於該域中的元素$A$，存在另一個元素$A'$，且滿足$A\times A'=I$，那麼$A'$就是$A$的逆元。

這裡我們只討論在整數域裡的逆元，也就是當$A\in \rm Z$且$I=1$，其實這裡的逆元$A'=\frac{1}{A}$，但是我們要在模的意義下討論它的求法。

在取模意義下，我們只需求出一個數$inv$，是的這個數於$\frac{1}{A}$同餘即可，那麼這個數$i$

費馬小定理

內容：對於$x$，在模$p,p\in \mathbb{P}\text{質數}$的意義下，有$x^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$

我們變換一個形式，左右同時除以$x$，就是$x^{p-2}\equiv \frac{1}{x}(mod\ p)$，那麼我們就發現$x^{p-2}$和$\frac{1}{x}$是同餘的，那麼$x^{p-2}$就是$x$的逆元了。

費馬小定理證明：

1. 用尤拉定理直接證明，這個就後面再說。
2. 我們用剩餘系來看：

引理1：假設$a$為$1\sim p-1$內的一個數，那麼$a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$可以在模$p$的意義下不重複的取遍$1\sim p-1$的值。引理1的證明-這裡面有

那麼我們將$a,2a,\cdots,(p-1)a$乘起來，在模$p$的意義下也就相當於把$1,2,\cdots,(p-1)$

所以用費馬小定理求取逆元的程式碼如下：

int inv(int a,int b=p-2){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=(a*a)%p)if(b&1)ans=(ans*a)%p;
	return ans%p;
}

尤拉定理

• 百度百科

內容：對於$x$，在模$p$（$p$為任意與$x$互質的數）意義下，有$x^{\varphi(p)}\equiv 1(mod\ p)$，其中$\varphi(p)$為尤拉函式，表示$1\sim p-1$中與$p$互質的個數。

那麼我們知道，當$p$為質數時就有$\varphi(p)=p-1$，那麼這個就是費馬小定理了。

我們同樣進行變形，可以得到$x^{\varphi(p)-1}\equiv \frac{1}{x}(mod\ p)$，那麼這裡$x^{\varphi(p)-1}$就為$x$的逆元了。

我們看，這裡只要求$x,p$互質，並沒有要求$p$為質數，所以尤拉定理求逆元比費馬小定理求逆元應用更加廣泛。

其他應用：當快速冪取模時，指數較大，但我們發現$x^{\varphi(p)}\equiv 1(mod\ p)$，所以我們可以將指數模了$\varphi(p)$，相當於除以很多個$1$，然後再來快速冪。

尤拉定理的證明：

我們先令$x_1\sim x_{\varphi(p)}$為$p$的簡化剩餘系，再令$p_i=xx_i$，其中$gcd(x_i,p)=1$

引理1. $p_i$之間兩兩在模$p$的意義下不同餘，同樣$x_i$也是。

• 證明引理1. ：

假設有$p_i\equiv p_j(mod\ p)$，那麼$p_i-p_j\equiv 0(mod\ p)$，我們將其變形得$xx_i-xx_j\equiv 0(mod\ p)$，也就是$x(x_i-x_j)\equiv 0(mod\ p)$，由於$gcd(x,p)=1$，所以只有在$x_i-x_j$為$p$的倍數時，這個式子才滿足，而$x_i,x_j\leq p$，那麼它們相減就更加不可能為$p$的倍數了，所以假設不成立，得證。

引理2. 每個$p_i$模$p$的結果都與$p$互質。

• 證明引理2. ：

假設$p_i\equiv r(mod\ p),gcd(p,r)>1$ 那麼變形就有$xx_i=kp+r$，也就是$xx_i-kp=r$，我們可以得知$xx_i$肯定與$p$互質（因為$x,x_i$分別與$p$互質），那麼我們令$d=gcd(p,r)$，那麼變形可知$xx_i=r+kp$，也就是$x{x}_i=d(w_1+k{w}_2)\text{其中}(d{w}_{}$