那麽如果模數不是互質的呢

這時候就需要拓展CRT了

對於
\[x \equiv a_1 \pmod {m_1}\]
\[x \equiv a_2 \pmod {m_2}\]

它等價於
\[x=a_1+k_1m_1\]
\[x=a_2+k_2m_2\]

聯立之後，就能得到一個不定方程

\[k_1m_1-k_2m_2=a_2-a_1\]

根據裴蜀定理，我們知道如果\(gcd(m_1,m_2) | (a_2-a_1)\)，那麽這個方程就有整數解

則\(k_1=\frac{m_2}{g}t+k_1‘\)

設最小正整數解為\(k_1‘\)

那麽\(x=a_1+k_1m_1=a_1+\frac{m_2}{g}tm_1+k_1‘m_1\)

我們設\(a_1+k_1‘m_1\)為x_0

那麽\(x=x_0+\frac{m_1m_2}{gcd(m1,m2)}t\)

則新的方程就變成了\[x \equiv x_0 \pmod {lcm(m1,m2)}\]

引入一道例題
poj2891

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

inline long long read()
{
  long long x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 1e6+1e2;

long long m[maxn],a[maxn];
long long M;
long long ans;
long long x0;
long long gcd;
int n;

long long exgcd(long long &x,long long &y,long long a,long long b)
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long cnt=exgcd(x,y,b,a%b);
    long long tmp = x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*x;
    return cnt;
} 

long long solve()
{
    x0=a[1];//x0表示從第一個式子開始，合並到當前點的前一個時a是多少 
    M=m[1];//M同x0 
    long long x=0,y=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        gcd=exgcd(x,y,M,m[i]);
        if ((a[i]-x0)%gcd!=0) return -1;//判斷不定方程的右邊能不能整除gcd 
        x=x*(a[i]-x0)/gcd;//擴大相應的倍數 
        long long tmp = m[i]/gcd;
        x=(x%tmp+tmp)%tmp;//根據特解公式，防止爆掉 
        x0=x*M+x0;//求合並完的x0 
        M=M*m[i]/gcd;
        x0=x0%M;
    }
    x0=(x0+M)%M;
    return x0;
}
int main()
{
  while (scanf("%d",&n)!=EOF)
  {
    for (int i=1;i<=n;i++)
      m[i]=read(),a[i]=read();
    printf("%lld\n",solve());
  }
  return 0;
}