線段樹原理

線段樹，類似區間樹，它在各個節點儲存一條線段（陣列中的一段子陣列），主要用於高效解決連續區間的動態查詢問題，由於二叉結構的特性，它基本能保持每個操作的複雜度為\(O(logn)\)。

線段樹的每個節點表示一個區間，子節點則分別表示父節點的左右半區間，例如父親的區間是\([a,b]\)，那麼\((c=(a+b)/2)\)左兒子的區間是\([a,c]\)，右兒子的區間是\([c+1,b]\)。

下面我們從一個經典的例子來了解線段樹，問題描述如下:從陣列a[0...n-1]中查詢某個陣列某個區間內的最小值，其中陣列大小固定，但是陣列中的元素的值可以隨時更新。

對這個問題一個簡單的解法是：遍歷陣列區間找到最小值，時間複雜度是\(O(n)\)

另一種解法：使用一個二維陣列來儲存提前計算好的區間\([i,j]\)內的最小值，那麼預處理時間為\(O(n^2)\)，查詢耗時\(O(1)\), 但是需要額外的\(O(n^2)\)空間，當資料量很大時，這個空間消耗是龐大的，而且當改變了陣列中的某一個值時，更新二維陣列中的最小值也很麻煩。

我們可以用線段樹來解決這個問題：預處理耗時\(O(n)\)，查詢、更新操作\(O(logn)\)，需要額外的空間\(O(n)\)。根據這個問題我們構造如下的二叉樹

葉子節點是原始組數\(a\)中的元素
非葉子節點代表它的所有子孫葉子節點所在區間的最小值
例如對於陣列\([2, 5, 1, 4, 9, 3]\)

由於線段樹的父節點區間是平均分割到左右子樹，因此線段樹是完全二叉樹，對於包含\(n\)個葉子節點的完全二叉樹，它一定有\(n-1\)個非葉節點，總共\(2n-1\)個節點，因此儲存線段是需要的空間複雜度是\(O(n)\)。那麼線段樹的操作：建立線段樹、查詢、節點更新 是如何運作的呢（以下所有程式碼都是針對求區間最小值問題）？

對於線段樹我們可以選擇和普通二叉樹一樣的鏈式結構。由於線段樹是完全二叉樹，我們也可以用陣列來儲存，下面的討論及程式碼都是陣列來儲存線段樹，節點結構如下（注意到用陣列儲存時，有效空間為\(2n-1\)

線段樹的程式碼實現

建線段樹的過程

void build(int l, int r, int root)
{
    if (l==r)
    {
        sum[root]=a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,root<<1);
    build(mid+1,r,root<<1|1);
    pushup(root);
}

pushup過程

void push(int root)
{
    sum[root]=sum[root<<1]+sum[root<<1|1];
}

查詢線段樹

int query(int ansl, int ansr, int l, int r,int root)
{
    if (ansl<=l && r<=ansr) return sum[root];
    int mid=(l+r)>>1;
    int ans=0;
    if (ansl<=mid) ans+=query(ansl,ansr,l,mid,root<<1);
    if (ansr>mid) ans+=query(ansl,ansr,mid+1,r,root<<1|1);
    return ans;
}

單節點更新

void update(int pos, int c, int l, int r, int root)
{
    if (l==r)
    {
        sum[root]+=c;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if (pos<=mid) update(pos,c,l,mid,root<<1); else update(pos,c,mid+1,r,root<<1|1);
    pushup(root);
}