ACM-ICPC 2018 南京賽區網路預賽 J.Sum (尤拉篩的應用+DP思維)
阿新 • • 發佈:2018-12-24
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000") #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define debug puts("YES"); #define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++) #define lrt int l,int r,int rt #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 #define ll long long const int maxn =2e7+5; const int mod=1e9+7; ll gcd(ll x,ll y){return y==0?x:gcd(y,x%y);} ll powmod(ll x,ll y){ll t;for(t=1;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) t=t*x%mod;return t;} /* 題目大意:就是找一個數拆成兩個無平方因子 的組合數,然後求個字首和。 這道題O(nlogn)不能過。。 所以oeis出莫比烏斯的朋友們尷尬了, 比賽時也是被坑了一下。 然後才想到了篩法, 頓時也感覺篩法的巧妙性, 和裡面參雜的動態規劃思想。 首先分析一波,一個數如果有個因子指數超過三則為零, 那麼有答案的因子就是兩部分組成,因子指數為2 的乘積, 因子指數為1的乘積,不難推出這樣數的答案貢獻為2^m, m為指數為1的質因子個數。 那麼融入到篩法裡面就行了, 篩法的巧妙就在於參雜著動態規劃, 首先質數的答案貢獻都是2, 那麼對於要被其最小質因子篩去的合數, 該合數可以表示為prim[j]*i,如果i不是prim[j]的倍數, 那麼ans[k]=ans[prim[j]]*ans[i](DP). 也好想,dp[x]只要拆解x為p和q,p和q不含相同因子即可,dp[p]*dp[q]. 如果i含有prim[j]呢,兩種情況, 如果i可以整除質因子的平方,那麼答案置為零, 如果不能,那麼根據DP的思想,答案可以去除平方項計算。 尤拉篩的思想是,每個數只能被其最小的質因子篩去, 這樣DP的思想也是有效的,因為狀態無疑是可以坍塌到以前的。 */ int prim[maxn],tot=0; int vis[maxn],miu[maxn]; int ans[maxn]; void sieve() { ans[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++) { if(vis[i]==0) prim[tot++]=i,ans[i]=2; for(int j=0;j<tot;j++)///尤拉篩的思想是,每個數只能被其最小的質因子篩去,這樣DP的思想也是有效的,因為狀態無疑是可以坍塌到以前的。 { int k=prim[j]*i; if(k>=maxn) break; vis[k]=1; if(i%prim[j]) ans[k]=ans[i]*ans[prim[j]]; else { int tp=prim[j]*prim[j]; if(i%tp==0) ans[k]=0; else ans[k]=ans[k/tp]; break; } } } } int n; int main() { sieve(); /// for(int i=1;i<maxn;i++) ///{ /// for(int j=i,k=1;j<maxn;j+=i,k++) /// { /// ans[j]+=miu[k]*miu[i]; /// } ///} for(int i=1;i<maxn;i++) { ans[i]+=ans[i-1]; } int t;scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d",&n); printf("%d\n",ans[n]); } return 0; }