作為一道程式設計題，這道題還是很簡單的。簡單的觀察就能知道拆出足夠多的 3 就能使得乘積最大。

int integerBreak(int n)
{
    if(n == 2) return 1;
    if(n == 3) return 2;
    int ret = 1;
    while( n>4 )
    {
        ret *= 3;
        n -= 3;
    }
    return ret * n;
}

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12

這道題的難點其實在於證明為什麼拆出足夠多的 33 就能使得乘積最大。下面我就試著證明一下。

首先證明拆出的因子大於 4 是不行的。設 x

44 這個因子也是可有可無的，4=2+24=2+2，4=2×24=2×2。因此 44 這個因子可以用兩個 22 代替。

除非沒有別的因子可用，11 也不能選作因子。一個數 xx 當它大於 3 時，有 (x−2)×2>(x−1)×1(x−2)×2>(x−1)×1。

這樣呢，就只剩下 22 和 33 這兩個因子可以選了。下面再證明 33 比 22 好。

一個數 x=3m+2nx=3m+2n，那麼 f=3m×2n

其中 ln3−32ln2>0ln⁡3−32ln⁡2>0 所以 ff 是 mm 的增函式，也就是說 mm 越大越好。所以 33 越多越好。

再多說一句，如果拆出的因子不限於整數的話，可以證明e=2.718…e=2.718… 是最佳的選擇。感興趣的可以試著證明一下。