題目描述

給定一個多項式(by+ax)^k，請求出多項式展開後x^n*y^m 項的係數。
輸入輸出格式
輸入格式：

輸入檔名為factor.in。

共一行，包含5 個整數，分別為 a ，b ，k ，n ，m，每兩個整數之間用一個空格隔開。

輸出格式：

輸出共1 行，包含一個整數，表示所求的係數，這個係數可能很大，輸出對10007 取模後的結果。

輸入輸出樣例
輸入樣例#1：

1 1 3 1 2

輸出樣例#1：

3

說明

【資料範圍】

對於30% 的資料，有 0 ≤k ≤10 ；

對於50% 的資料，有 a = 1，b = 1；

對於100%的資料，有 0 ≤k ≤1,000，0≤n, m ≤k ，且n + m = k ，0 ≤a ，b ≤1,000,000。

noip2011提高組day2第1題

分析

　　神奇的數學題，直接提示了二項式定理（　其實就是說楊輝三角與二項式的係數相同，與Ｃ(n,m)相同　）
　　由定理直接可以得出第x^n*y^m 項為：Ｃ(k,m)* (a*x)^n* (b*y)^m
　　化簡可得其係數為：　Ｃ(k,m)　*　a^n　*　b^m
　　PS:由於二項式/楊輝三角性質可知　n+m=k　則　Ｃ(k,m)＝Ｃ(k,k-n)=Ｃ(k,n)
　　對於後二者，直接用快速冪（如果不知道，那麼88，走錯片場了）來求就行了．
　　對於Ｃ(k,m)，有兩種方法，其一是形如楊輝三角的遞推（Ｃ(k,m)＝Ｃ(k-1,m-1)+C(k-1,m)）.其二是考慮分解質因數+高精度

　　1.逆元定義：對於正整數a和m，如果有 a*x≡1(mod m) { 即　a*x%m=1%m }，那麼把這個同餘方程中的最小正整數解叫做a模m的逆元。
　　2.費馬小定理：假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1
　　3.對於除法取模來說　(a/b)%m=((a%mo)/(b%mo))%mo　是不存在的但對於+ - * ^ 來說成立,所以說可以考慮將　(a/b)%m轉化為　a*(b^-1)%mo . 當然，直接轉換是不存在的，於是藉助逆元進行轉化
　　由於mo=10007為質數，與b＝(m-k)!* m! 互質，所以，由費馬小定理可得：　b^(mo-1)=1(mod mo)　又因為　b^-1*b=1　
　　so　b^(mo-1)＝b^-1*b　–＞　b^-1=b^(mo-2)
　　於是　（令　b=(m-k)!* m!）
　　　　Ｃ(k,m)%mo=( k!/b) %mo＝( k! b^-1 )%mo=( k! *b^(mo-2))%mo=((k!%mo)

程式碼

數論程式碼一般都十分醜陋
貌似不用開long long的樣子

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
#define close fclose(stdin); fclose(stdout); 
using namespace std;

int mo=10007;
int jc[1005];

inline int read()
{
    int k=1;
    int sum=0;
    char c=getchar();
    for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
        if(c=='-') k=-1;
    for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
        sum=sum*10+c-'0';
    return sum*k;
}

inline void write(int x)
{
    if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

inline int power(int x,int t)//快速冪　　x^t
{
    if(t==1) return x;
    int s=power(x,t>>1);
    s=s*s%mo;
    return t&1?s*x%mo:s;
}

int main()
{
    open("1313");

    int a=read(),b=read(),k=read(),n=read(),m=read();
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=k;++i) jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo;//預處理階乘
    n%=mo; m%=mo;//由於n,m,a,b都可能比mo大，所以先取模
    a%=mo; b%=mo;

    int ans=1;
    //三部分
    ans=(jc[k]*power((jc[k-n]*jc[n])%mo,mo-2))%mo;
    ans=(ans*power(a,n))%mo;
    ans=(ans*power(b,m))%mo;

    write(ans);

    close;
    return 0;
}