數字三角形——動態規劃 （dp問題）

經典問題： 數字三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。 三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99

很明顯，這道題的想法就是從最上面開始找一條路（如果採用暴力的方法會超時）

那麼我們該怎麼想這個問題呢。
首先 我們用 length(i,j)來代表 第i行第j列的元素（代表這個點的數字）比如 length(1,1）為 7
然後用 Maxsum(i,j)代表 從這個點出發，到底邊的最大路徑

那麼我們可以知道
Maxsum(i,j)=max(Maxsum(i+1,j),Maxsum(i+1,j+1))+D(i,j);
這就是狀態轉移方程了，從一個點轉移到另一個點。
從 Maxsum(i,j)這個問題 轉移到 求 Maxsum(i+1,j) Maxsum(i+1,j+1）的子問題…

那麼我們很容易寫出遞迴程式：

int a[10][10]; //用來儲存每個點的數
int dp(int x,int y,int n)
{
    if(x==n) //x,y從最上端開始搜，當x==n也就是搜尋到最後一行的時候返回值
        return a[x][y];
    else return
 
 max(dp(x+1,y,n),dp(x+1,y+1,n))+a[x][y]; //否則就分成子問題，進一步遞迴。
    return 0;
}

但是這種做法時間複雜度也很高，為什麼呢，因為他重複計算了一些點的數，而其實沒有必要重複算，我們只需要把之前計算過的值儲存下來，當再次被呼叫的時候直接返回值就可以了，而不需要進一步遞迴求值（這大大降低了時間複雜度，但是提高了空間複雜度——我們需要開一個另外的陣列來儲存每個點的dp值）
程式碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int a[10][10];
int sum[10][10]=
 
{-1};
int dp(int x,int y,int n)
{
    if(sum[x][y]!=-1)
        return sum[x][y];
    if(x==n)
        sum[x][y]=a[x][y];
    else
        sum[x][y]=max(dp(x+1,y,n),dp(x+1,y+1,n))+a[x][y];
    return sum[x][y];
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            sum[i][j]=-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<i+1;j++)
            cin>>a[i][j];
    dp(0,0,n);
    cout<<sum[0][0]<<endl;
    return 0;
}