動態規劃（入門）：各種數字三角形
阿新 • • 發佈：2019-02-11
一、一般的數字三角形：
給一個由數字形成的三角形，要求從三角形的頂端開始走，走到最後一行，要求走的路徑之和最大。對於一般的數字三角行，可以正著走，也可以反著走。建議最好正走，不然加強版的數字三角形倒著走走不出來。
例題：
描述
示出了一個數字三角形。 請編一個程式計算從頂至底的某處的一條路
徑，使該路徑所經過的數字的總和最大。
每一步可沿左斜線向下或右斜線向下走；
1<三角形行數<25；
三角形中的數字為整數<1000；
輸入格式
第一行為N，表示有N行
後面N行表示三角形每條路的路徑權
輸出格式
路徑所經過的數字的總和最大的答案
測試樣例1
輸入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
輸出
30
正走程式碼：
反走程式碼：#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 25+5; int maps[maxn][maxn]; int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { memset(maps,0,sizeof(maps)); for(int i=1;i<=n;i++)//從1開始並且初始化為0可以直接從（1，1）開始走 for(int j=1;j<=i;j++) { int now; scanf("%d",&now); maps[i][j] = max(maps[i-1][j],maps[i-1][j-1]) + now; } int ans = 0; for(int i=1;i<=n;i++) ans = max(maps[n][i],ans);//正走在最後需要找出各個路徑走到最後一行時最大的一個數； printf("%d\n",ans); } }
二、過定點的數字三角形（加強版一） 還是數字三角形，多了一個要求，就是需要走固定的一個點。這個題的想法很有意思，化一般為特殊，具體的做法就是將固定的點加上一個很大的數，在規劃的過程中就一定會走過這個點，在輸出的時候將這個很大的數減去就是正確答案。但是在加上一個很大的數的時候需要計算一下，不要加上一個很大的數的時候超範圍了就很尷尬了。 例題： 描述#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 25+5; int maps[maxn][maxn]; int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { memset(maps,0,sizeof(maps)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++) scanf("%d",&maps[i][j]); for(int i=n-1;i>=0;i--) for(int j=1;j<=i;j++) maps[i][j] += max(maps[i+1][j],maps[i+1][j+1]); printf("%d\n",maps[1][1]);//反走的優勢就在於此處，最大值直接就在（1，1）產生 } }
數字三角形必須經過某一個點，使之走的路程和最大
輸入格式
第1行n，表示n行 <=25
第2到n+1行為每個的權值
第n+2行為兩個數x,y表示必須經過的點
輸出格式
最大值
測試樣例1
輸入
2
1
1 1
1 1
輸出
2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 25 + 5;
const int Max = 1e5;
int maps[maxn][maxn];
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(maps,0,sizeof(maps));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&maps[i][j]);
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
maps[x][y] += Max;//加上最大就一定會走過此點
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
maps[i][j] += max(maps[i-1][j],maps[i-1][j-1]);
int ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans = max(ans,maps[n][i]);
printf("%d\n",ans - Max);//最後輸出的時候不要忘記減去Max
}
}
數字三角形
要求走到最後mod 100最大
輸入格式
第1行n，表示n行 <=25
第2到n+1行為每個的權值
輸出格式
mod 100最大值
測試樣例1
輸入
2
1
99 98
輸出
99
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod = 100;
const int maxn = 25 + 5;
int maps[maxn][maxn];
bool dp[maxn][maxn][100];
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(maps,0,sizeof(maps));
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&maps[i][j]);
dp[0][0][0] = dp[0][1][0] = true;//這個初始化很重要
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
{
for(int k=0;k<=99;k++)
{
int now;
if(dp[i-1][j][k])//當上一個這個數值存在時就可以加上當前狀態的值
{
now = (maps[i][j] + k)%Mod;
dp[i][j][now] = true;
}
if(dp[i-1][j-1][k])
{
now = (maps[i][j] + k)%Mod;
dp[i][j][now] = true;
}
}
}
int ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int k=0;k<=99;k++)
{
if(dp[n][i][k])
{
ans = max(ans,k);
}
}
printf("%d\n",ans);
}
}