“正交陣”與“特徵值和特徵向量”
正交陣
概念:若n階矩陣A滿足ATA=I,則A為正交矩陣,簡稱正交陣。
ATA=I解釋的話就是:
“A的第i行”*“A的第i列”= 1
“A的第i行”*“A的非第i列”= 0。
其他:
1,A是正交陣,x為向量,則A·x稱作正交變換;
正交變換不改變向量長度。
如:
A=
B= (x0, y0),PS:B是對映到x,y座標軸上的一個點
於是A·BT的結果就是讓B這個點在座標上逆時針旋轉°。
2,A、B都是n階正交陣,那麼A*B是正交陣。
特徵值和特徵向量
定義:A是n階矩陣,若數λ和n維非0列向量x滿足Ax=λx,那麼,數λ稱為A的特徵值,x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。
解釋:
Ax=λx意味著:Ax正好是列向量x的λ倍,即:向量x乘上矩陣A的結果僅僅是改變向量x的長度。那麼,這個x和A一定有著某種聯絡(因為x被A作用之後x的方向壓根就沒變),就好像很多故事中將保護公主的人稱為騎士一樣(公主和騎士是有聯絡的),那這裡就把這個x稱作A的特徵向量
OK,等號左邊至少可以理解了吧,然後為了描述等號右邊,就把λ稱作特徵向量x的特徵值。
PS:上學時我們經常這樣求解特徵值和特徵向量:
根據定義,立刻得到(A-λI)x= 0,令關於λ 的多項式|A-λI|為0,方程|A-λI|=0的根為A的特徵值;將根λ帶入方程組(A-λI)x = 0 ,求得到的非零解,即λ對應的特徵向量。
不過,雖然這樣能解,但這樣沒啥實際價值。實踐中一般使用Q·R分解。
性質:
1,設n階矩陣A=(aij
a,λ1+ λ2 + ... + λn =a11 + a22 + … + ann
即:矩陣A的主對角線的元素的和 = 特徵值的和
於是乎A的主對角線一定是十分重要的,那麼我們就給它一個稱呼吧,於是我們把矩陣A主行列式的元素和,稱作矩陣A的跡。
b,λ1λ2… λn =|A|
即:特徵值的乘積 = A的行列式
2,已知λ是方針A的特徵值,則
a,λ2是A2的特徵值
b,A可逆時,λ-1是A-1的特徵值
3,如果A0= I,則λk是Ak的特徵值,k∈R。
4,設λ1 ,λ2 ,...,λm 是方陣A的m個特徵值,p1 ,p2,...,pm 是依次與之對應的特徵向量,若λ1 ,λ2 ,...,λm 各不相等,則p1 ,p2 ,...,pm 線性無關。
即:不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
5,實對稱陣不同特徵值的特徵向量正交
6,對稱矩陣A的特徵向量是x,則xTAx是一個對角陣。
PS:如果A不是對稱陣,則x-1Ax是對角陣。
最終結論:
設A為n階對稱陣,則必有正交陣P,使得
P-1AP= PTAP = Λ
Λ是以A的n個特徵值為對角元的對角陣。
該變換稱為“合同變換”,A和Λ互為合同矩陣。