貪心演算法正確性證明

什麼是貪心演算法

WIKI定義：貪心演算法（英語：greedy algorithm），又稱貪婪演算法，是一種在每一步選擇中都採取在當前狀態下最好或最優（即最有利）的選擇，從而希望導致結果是最好或最優的演算法。比如在旅行推銷員問題中，如果旅行員每次都選擇最近的城市，那這就是一種貪心演算法。
用大白話說：我每一步都選擇當下的最好選擇，這樣做下去我的最終結果就是最好的。
貪心演算法是一種漂亮的演算法設計思路，有很多應用，比如Prim演算法。貪心演算法在很多情況下可以得到最優解。（並不適用於所有情況，文章最後會給出反例）

貪心演算法正確性證明
和這世界上大部分演算法相同，貪心演算法可以由數學歸納法證明其正確性。下面以Prim演算法為例子給出證明過程：
對於一個給的的圖G，其最小生成樹集合為T*（一個圖可以有多個最小生成樹）,由演算法求出的最小生成樹為T，我們只需要在Prim演算法的每一步得出的樹T一直是T*的子集即可。

1.BaseCase: T是空樹，因此T當然是T*的子集，BaseCase成立。

2.inductive: T是T的子集，下一步要將一條邊e加到T中，求證T+e依舊是T的子集

圖中e’是屬於T的一條邊
第一種情況：e = e’,說明我們加入的邊e是最小生成樹中的一條邊，T+e自然是T的子集，證明完畢。
第二種情況：e != e’，這時根據Prim演算法規則（或者說根據貪心演算法原理），e一定小於等於e’，即W(e) <= W(e’)，因此T+e’依舊是T*的一個子集，證明完畢。
有的讀者可能會說這是Prim演算法的證明過程，並不是貪心演算法的證明。但是其實所有貪心演算法都可以用這種方法證明，因為貪心演算法的理念都是一樣的，就是每一步時選擇當下最優解可以得出最優結果，均可以由數學歸納法快速證明。
BTW:貪心演算法天生就是為數學歸納法準備的，它自己的演算法思想幾乎就是證明過程。

反例：

我實在懶得打字+翻譯成中文了，各位看官自行閱覽吧，其實很容易就舉出反例了