題目

作為NOIP2018的題目，我覺得不需要把題目貼出來了。
大意就是，在一個 $n*m$的 $01$

矩陣中，從左上角到右下角的路徑中，對於任意的兩條，上面的那條小於下面的那條。問滿足這樣的矩陣的個數。
好吧，有點簡陋……

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比賽思路

一眼看下去，誒， $n$這麼小，一下子就想到了狀壓DP。
然後有一點很顯然： $(i,$

j ) ≤ ( i + 1 , j − 1 ) (i,j)\leq (i+1,j-1) 。
依照這個性質，我打出了一個狀壓DP。
然後發現，第二個樣例崩了。
然後手算了半天，推出來另一個朦朧的性質……
然後看看時間，啊，不能再推式子了！沒時間啦！
匆匆打個暴力，去思考第三題。

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正解

這題的正解有很多種。
的確有狀壓DP，不過最優的方法還是lyl推了兩節數學課的神方法。
用這個方法，就算開到long long範圍，也可以秒過。

其實這題還有一個性質：
如果 $(i,j)=(i+1,j-1)$，那麼以 $(i+1,j)$為左上角的矩形的所有對角線上的數字相等。
至於為什麼，也是比較好理解的。
如果有條到 $(i,j-1)$的路徑，可以分成兩條分別走到 $(i,j)$和 $(i+1,j-1)$，再走到 $(i+1,j)$，在這個時候它們是相等的。如果這個矩形中有不相等的路徑，那麼必定存在一種方案使通過 $(i,j)$的走小的，通過 $(i+1,j-1)$的走大的，不符合條件。所以在這個矩形中的左上角到右下角的路徑相等，要讓路徑相等，對角線就要相等。

有了這個條件，這道題就變得複雜起來。lyl大佬發揮出他超強的推式子能力，把這題A穿了。
首先，我們可以分類討論。
先討論 $n=m$的情況

1. 當 $(0,1)=(1,0)$時
   在這個情況比較簡單，答案為 $2*2*4^{n-2}*2^{n-1}$
2. 當 $(0,1)\neq (1,0)$時

   1. 當 $(0,2)=(1,1)=(2,0)$時
      也比較簡單， $2*2*5*4^{n-4}*2^{n-1}$

   2. 當 $(1,1)=(2,0)$時
      
      黃色表示這片區域內的對角線相等。
      設 $f_i$表示到 $i$這條對角線， $i-1$或之前對角線的上面兩個一樣的方案數。
      （這裡的對角線為 $(0,3)$到 $(0,n-1)$為右上角的兩個對角線，編號從 $1$開始）
      那麼 $f_i=f_{i-1}*4+4*5$
      $f_{i-1}*4$表示 $i-2$或之前已經有了對角線上面兩個一樣的，那麼第 $i$條對角線被限制了，所以只有 $4$種。
      $4*5$表示 $i-1$有上面兩個一樣，那麼第 $i$條不受限制，有 $5$種。

      接下來我們計算這種情況的方案數：
      $2*(3+4*3+f_{n-3}*2)*2^{n-2}$
      估計問題在 $(3+4*3+f_{n-3}*2)$這裡面。
      $3$表示以 $(0,n-1)$為右上角的對角線的上面兩個不一樣，之前的也不一樣，那麼以 $(1,n-1)$為右上角的對角線不受影響，方案為 $3$
      $4*3$表示以 $(0,n-1)$為右上角的對角線的上面兩個一樣，之前的不一樣，那麼以 $(1,n-1)$為右上角的對角線還是不受影響，方案為 $4\ast 3$