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卡爾曼濾波(Kalman filtering)小結

阿新 • • 發佈：2018-12-29

最近專案用到了kalman濾波，本博文簡單介紹下卡爾曼濾波器的概念、原理和應用，做個小結。

概念

卡爾曼濾波（Kalman filtering）一種利用線性系統狀態方程，通過系統輸入輸出觀測資料，對系統狀態進行最優估計的演算法。由於觀測資料中包括系統中的噪聲和干擾的影響，所以最優估計也可看作是濾波過程。

斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次實現了卡爾曼濾波器。卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪問時，發現他的方法對於解決阿波羅計劃的軌道預測很有用，後來阿波羅飛船的導航電腦使用了這種濾波器。 關於這種濾波器的論文由Swerling (1958), Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發表[1]。

卡爾曼濾波的一個典型例項是從一組有限的，包含噪聲的，對物體位置的觀察序列（可能有偏差）預測出物體的位置的座標及速度。在很多工程應用(如雷達、計算機視覺)中都可以找到它的身影。同時，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統工程中的一個重要課題[2]。

應用

例如,對於雷達來說，人們感興趣的是其能夠跟蹤目標。但目標的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標的動態資訊，設法去掉噪聲的影響，得到一個關於目標位置的好的估計。這個估計可以是對當前目標位置的估計(濾波)，也可以是對於將來位置的估計(預測)，也可以是對過去位置的估計(插值或平滑)。
擴充套件卡爾曼濾波（EXTEND KALMAN FILTER, EKF）是由kalman filter考慮時間非線性的動態系統，常應用於目標跟蹤系統。

kalman濾波器

理論上，kalman濾波器需要三個重要假設：
1）被建模的系統是線性的；
2）影響測量的噪聲屬於白噪聲；
3）噪聲本質上是高斯分佈的。
第一條假設是指k時刻的系統狀態可以用某個矩陣與k-1時刻的系統狀態的乘積表示。餘下兩條假設，即噪聲是高斯分佈的白噪聲，其含義為噪聲與時間不相關，且只用均值和協方差就可以準確地為幅值建模。

在kalman濾波器濾波器應用中，一般考慮三種運動：
1）動態運動：這種運動是我們期望的前次測量時系統狀態的直接結果，如勻速運動等。
2）控制運動：這種運動是我們期望的，由於某種已知的外部因素以某種原因施加於系統，如加速運動等。
3）隨機運動

：隨機的無規則運動，在Kalman濾波器中，至少是可以用高斯模型有效地來建模。

以下是兩個重要方程：
狀態方程：

xk=Axk−1+Buk−1+qk−1
觀測方程：
yk=Hxk+rk
上兩式子中，x(k)是k時刻的系統狀態，u(k)是k時刻對系統的控制量。A是傳輸引數、B是控制引數，都是系統引數，對於多模型系統，他們為矩陣。y(k)是k時刻的測量值，H是測量系統的引數，對於多測量系統，H為狀態轉移矩陣。q(k)和r(k)分別表示狀態和測量的噪聲。他們被假設成高斯白噪聲，他們的協方差分別是Q，R（這裡我們假設他們不隨系統狀態變化而變化）。

KF演算法流程如下圖：
1
這裡的K是kalman增益矩陣。

五個重要更新公式：
時間更新：

x^−k=Ax^k−1+Buk−1(1)
上標”-“表示“在新的測量之前”，求出先驗估計x^−k;
P−k=APk−1AT+Q(2)
這個等式構成預測部分的基礎，這告訴我們根據已看到的“我們可以期望什麼”;
狀態更新：
Kk=P−kHT(HP−kHT+R)−1(3)
這裡給出所謂的Kalman增益或更新率或混合比例，告訴我們如何給定新資訊相對已知資訊的權重，在直接測量一個位置變數的一維例子中，狀態誤差是σ2k−1，測量誤差是σ2k，K=σ2k−1σ2k−1+σ2k；
x^k=x^−k+Kk(yk−Hx^−k)(4)
Pk=(I−KkH)P−k(5)
得到“新的測量之後”，就可以用更新率K對x^−k、P−k做更新得到最優的更新值x^k、Pk。

舉例

以測量在停車場行駛的汽車為實際例子，汽車的狀態用兩個位置變數x和y，以及兩個速度變數vx和vy表示。這四個變數組成狀態向量xk的元素。dt表示速度增量。這裡假設的是動態運動模型。

xk=[xyvxvy]T
A=⎡⎣⎢⎢⎢10000100dt0100dt01⎤⎦⎥⎥⎥
當使用攝像機觀測汽車的狀態時，可能只觀測量到位置變數：

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