如何給小學生講清楚ECC橢圓曲線加密
對於RSA這套公私鑰加密的思路，我以為我挺明白的，運用的嫻熟自如。
當然現在RSA用的不多，而是基於ECC曲線來做簽名驗籤，最大名鼎鼎的莫過於比特幣。
可是前兩天和別人講程式碼，被問了ECC為什麼可以用來做驗籤，發現自己講不清楚。
所以做了點功課，來把這個問題講清楚。
首先我們跳過ECC曲線是個啥這個話題，這部分我覺得對理解這個邏輯，幫助並不大，黑盒掉就好了。
因為我們是程式設計師，有型別這樣的表述神器，非常清晰，你一點都不用害怕。
只說原理，非虛擬碼，比如關於曲線階數不說不影響理解原理，我就不說了。
ECC曲線加密核心原理
下面我們講的，都在同一條曲線上，這條曲線上的點支援一種乘法運算
設 Q 為曲線上一點
若點R = Q * Q，也可以記為 R=2.Q
若點R =Q*Q*Q，可以記為 R =3.Q
若點R =Q*Q*……*Q ,一共n個Q，則可以記為R=n.Q
然後原理來了
給定n 和 Q 求 R 很容易，給定R 和 Q，則非常難求出n
就這一條原理，然後其他的都是證明出來的。
公鑰和私鑰
先複習一下原理
設Q為曲線上一點，k為一個整數
令點K = k.Q，若給定 k 和 Q，很容易求出 K
若給定 K 和 Q ，很難求出k
我換個說法給你看
設G為曲線上一點，k為私鑰
令公鑰K=k.G, 若給定私鑰和G，很容易求出公鑰
若給定公鑰和G，很難求出私鑰
是不是有點意思了，從這裡我們也可以看出，ECC的私鑰就是一個整數，一個很大很大的整數，Int64 別提了，常用的ECC演算法，私鑰是一個256bit的整數
而ECC的公鑰是一個點，雖然平常看到他們不是字串就是bytearray，但是私鑰是整數，公鑰是一個點（二維座標）
ECC曲線有很多應用，最常用的是加密解密和簽名驗證
加密原理
加密步驟，先設 K=k.G，（公鑰=約定點G階乘私鑰）。
1. 欲傳遞的資料m，先把他編碼為一個座標點M（怎麼編碼是你的事，比如一個字串，你把他先bytes，然後變成大整數，當座標的x座標，純屬舉例）
2. 整個隨機整數r
3. 計算點 C1 = M+r.K看到這裡肯定有點暈，這裡出現了點的加法，還有r.K，r.K 就是 r 個 K相乘，K是公鑰。就是 點C1 等於 r個公鑰相乘加上座標點M
4. 計算點C2 = r.G G是曲線上面約定好的一點，就是k=k.G（公鑰=約定點G階乘私鑰）那個G，r是前面的隨機整數
加密完成，可以看出加密需要公鑰，加密將座標點M 加密為 C1 C2 兩個座標點
加密者只需傳送C1 C2 給對方
解密步驟
1. 由C1=M+r.K 可知 M =C1-r.K
2. 由K=k.G（公鑰=私鑰）將K代入上式可得 M=C1-r.k.G
3. 由C2=r.G 帶入上式，可得 M=C1-k.(r.G)=C1-k.C2
4. 據上面推導的結論 M=C1-k.C2,則解密者根據收到的C1，C2，用自己的私鑰，可以計算出加密座標點M
簽名驗證原理
簽名步驟，先設 K=k.G，（公鑰=約定點G階乘私鑰），設欲簽名資料為m，簽名用私鑰
1. 對欲簽名資料進行處理 e=hash(m)，e是一個巨大整數，Hash 演算法不用解釋了吧，m是必選，ECSDA實現中還把一個座標放進去一起算hash，為了便於理解原理，我就不代入那些了，只說e
2. 整個隨機整數r
3. 計算s=r-e*k，這個式子純粹是整數運算，結果s當然也是整數 ，s=隨機數減去 hash*私鑰，就這個意思。
簽名完成
通常說簽名（signdata）就是指s和r兩個整數。
簽名者傳送 s、r、公鑰K，欲簽名資料m，則任何人可以驗籤。
驗籤步驟，驗籤用公鑰
1. 對欲簽名資料進行處理 e=hash(m)
2. 計算點V1=r.G（就是算公鑰那個點G 階乘隨機數 r）
3. 計算點V2=s.G+e.K ( 點G階乘簽名資料s 加上 公鑰階乘 )
4. 若V1=V2 則驗籤成功，接下來證明
5. 若資料都是對的，則s =r-e*k成立
6. 此時設s=r-e*k，V2=s.G+e.K 將s展開 得 V2=(r-e*k).G+e.K
7. V2 =r.G-e.k.G+e.K
8. 因為K=k.G，代入上式，可得V2 = r.G – e.(k.G)+e.K = r.G -e.K+e.K
9. 上式抵消e.K之後得V2=r.G，可知假設s=r-e*k時，V2=r.G =V1
10. 反之，當V1=V2時，s=r-e*k成立，資料正確
沒有什麼太深得東西，只是把這個原理表述出來，加深自己的理解，對得起區塊鏈從業者這個身份
最後，2018結束，大家新年快樂