大叔學ML第五:邏輯迴歸
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基本形式
邏輯迴歸是最常用的分類模型,線上性迴歸基礎之上擴充套件而來,是一種廣義線性迴歸。下面舉例說明什麼是邏輯迴歸:假設我們有樣本如下(是我程式設計生成的資料):
我們要做的是找到一個決策邊界,把兩類樣本給分開,當有新資料進來時,就判斷它在決策邊界的哪一邊。設邊界線為線性函式
\[h_\theta(\vec x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 \tag {1}\]取0時的直線,如下圖:
我們的目標就是根據已知的樣本來確定\(\vec\theta\)
上圖中,處在邊界線左邊的為負例(帶入(1)式結果小於0),邊界線右邊的為正例(帶入(1)式結果大於0)。從概率的角度考慮:把一個點代入(1)式,如果為正,且越大越離邊界線遠,它是正例的概率就越大,直到接近1;相反,把一個點代入(1)式,如果為負,且越小離邊界線越遠,它是正例的概率就越小,直到接近0;此外,把一個點代入(1)式,如果結果正好等於0,那麼它在邊界線上,為正例和為負例的概率都是0.5。
為了用數學的方式精確表達上面的概率論述,前人找到一個好用的函式:
\[s(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag{2}\]
這個函式叫做sigmoid
(sigmoid:S形狀的)函式(下文用S(z)或s(z)表示sigmoid函式),樣子如下:
當\(z=0\)時,函式值為0.5,當\(z > 0\)時,函式取值\((0.5, 1)\);當\(z < 0\)時,函式取值\((0, 0.5)\),如果我們把欲判斷點代入決策邊界(1)式後得到的結果作為sigmoid
函式的輸入,那麼輸出就可以表示該點是正例的概率,簡直完美。其實S型的函式應該還有別的,為什麼前人獨愛這個呢?那是因為,這個函求導比較簡單,用鏈式法則可以非常容易算出其導數式為:
\[\frac{d}{z}s(z)=s(z)(1 - s(z)) \tag{3}\]
simgiod函式求導過程:
\[\begin{align}\frac{d}{z}s(z)&=-\frac{1}{(1+e^{-z})^2}\cdot e^{-z} \cdot -1 \\ &=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}\\ &=\frac{1+e^{-z}-1}{(1+e^{-z})^2}\\ &=\frac{1+e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} - \frac{1}{(1+e^{-z})^2}\\ &=s(z) - s(z)^2\\ &=s(z)(1-s(z)) \end{align}\]
第一步用了鏈式法則。
代價函式
邏輯迴歸的代價函式可由極大似然估計法得出。我們暫且不管極大似然估計法的證明,直觀地理解非常容易:如果你是一個班級的新老師,發現有個孩子考了95.5分,你肯定會認為這個孩子很可能是學霸,雖然學霸有時也會考低分,學渣有時也考高分,但是發生概率很小。更一般的敘述是:有若干事件A、B和C,已知其發生概率為分別為\(P(A|\theta)\)、\(P(B|\theta)\)和\(P(C|\theta)\),如果我們觀察到A、B和C已經發生了,那麼我們就認為\(P(ABC|\theta)\)是個儘可能大的值,如果我們要求\(\theta\),那麼\(\theta\)應該是使得\(P(ABC|\theta)\)最大的那個值。如果A、B和C互相獨立,我們所求的就是使得\(P(A|\theta)P(B|\theta)P(C|\theta)\)最大化的\(\theta\)。
設\(t_\theta(\vec x)=s(h_\theta(\vec x))\)已知:\[P(Y=y) = \begin{cases} t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 1} \\ 1 - t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 0} \end{cases}\],寫到一起:
\[P(Y=y)=t_\theta(\vec x)^y(1-t_\theta(\vec x))^{1-y} \tag{4}\],根據(4)式寫出極大似然函式:
\[l(\vec\theta)=\prod_{i=1}^mt_\theta(\vec x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \],設代價函式\[j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\ln l(\vec\theta)\] ,最大化\(l(\vec\theta)\)即最小化\(j(\vec\theta)\)。求對數是為了方便計算,把乘法轉換為加法,把冪運算轉換為乘法,單調性不變;前面的負號是為了把求最大值問題轉換為求最小值問題,習慣上,應用梯度下降法時都是求最小值,不然叫“梯度上升了法”了,手動滑稽。當然,使用梯度下降法的前提條件是函式是凸的,大叔懶得證明了,這個函式就是個凸函式,不管你們信不信,我反正是信了。進一步對上式化解得:
\[j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\ln t_\theta(\vec x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\ln(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))\right] \tag{5}\]
用梯度下降法求\(\vec\theta\)
將(5)式對\(\vec\theta\)求偏導:
- \(\frac{\partial}{\partial\theta_0}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)}\)
- \(\frac{\partial}{\partial\theta_1}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_1^{(i)}\)
- \(\cdots\)
- \(\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_n^{(i)}\)
如果讀者對矩陣計算非常熟悉的話,應該可以看出,上式可以寫成矩陣形式,這樣計算更方便:
\[\frac{\partial}{\partial\vec\theta}=\frac{1}{m}X^T(T-Y),其中,T=\begin{pmatrix}t_\theta(\vec x^{(1)})\\ t_\theta(\vec x^{(2)})\\ \vdots \\ t_\theta(\vec x^{(m)}) \end{pmatrix}\]
對\(j(\vec\theta)\)求導的過程如下,多次應用鏈式法則即可:
\[\begin{align} \frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(t_\theta(\vec x^{(i)}) - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)} + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)x_n^{(i)}\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)}\\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)}) - y^{(i)})x_n^{(i)} \end{align}\]
- 步驟1用到到了公式:\(\ln x^\prime = \frac{1}{x}\)
- 步驟2用到式(3)
有了偏導式後就可以程式設計了:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.e**(-z))
def draw_samples(X, Y, sample_count):
''' 繪製正負例. '''
positiveX1 = []
positiveX2 = []
negativeX1 = []
negativeX2 = []
for i in range(sample_count):
if Y[i, 0] == 1:
positiveX1.append(X[i, 0])
positiveX2.append(X[i, 1])
else:
negativeX1.append(X[i, 0])
negativeX2.append(X[i, 1])
plt.scatter(positiveX1, positiveX2, marker='+')
plt.scatter(negativeX1, negativeX2, marker='.')
def draw_border(theta):
'''繪製邊界線'''
X = []
Y = []
for x in range(-2, 12):
X.append(x)
Y.append(-theta[0] / theta[2] - theta[1] / theta[2] * x )
plt.plot(X, Y)
def create_samples(samples_count):
''' 生成樣本資料'''
X = np.empty((samples_count, 2))
Y = np.empty((samples_count, 1))
for i in range(samples_count):
x1 = np.random.randint(0, 10)
x2 = np.random.randint(0, 10)
y = 0
if x1 + x2 - 10 > 0:
y =1
X[i, 0] = x1
X[i, 1] = x2
Y[i, 0] = y
noise = np.random.normal(0, 0.1, (samples_count, 2))
X += noise
return X, Y
def grad(X, Y, samples_count, theta):
''' 求代價函式在theta處的梯度. '''
T = sigmoid(np.dot(X, theta))
g = np.dot(X.T, (T - Y)) / samples_count
return g
def descend(X, Y, samples_count, theta = np.array([[1],[1],[1]]), step = 0.01, threshold = 0.05):
''' 梯度下降.
Args:
X: 樣本
Y:樣本標記
theta:初始值
step:步長
threshold:閾值
Returns:
theta:求出來的最優theta
'''
g = grad(X, Y, samples_count, theta)
norm = np.linalg.norm(g)
while norm > threshold:
g = grad(X, Y, samples_count, theta)
norm = np.linalg.norm(g)
theta = theta - g * step
print(norm)
return theta
samples_count = 100
X, Y = create_samples(samples_count)
MatrixOnes = np.ones((100, 1))
X_with_noes = np.hstack((MatrixOnes, X)) # 新增等於1的x0
theta = descend(X_with_noes, Y, samples_count)
plt.xlabel('$x_1$')
plt.ylabel('$x_2$')
draw_samples(X, Y, samples_count)
draw_border(theta.flatten())
plt.show()
執行結果:
上面的程式碼中,我在樣本矩陣中增加了一列為1的元素,這樣做是為了計算方便,使得樣本矩陣的列數等於欲求\(\vec\theta\)的行數,滿足矩陣乘法的要求,加上這一列對結果沒有影響,請參考大叔學ML第二:線性迴歸
擴充套件
- 和線性迴歸一樣,邏輯迴歸也存在過擬合的情況,可以通過新增一範數、二範數正則化來解決
- 和線性迴歸一樣,邏輯迴歸的決策邊界可以是曲折的多項式,可參考大叔學ML第三:多項式迴歸,依葫蘆畫瓢來搞定決曲折的決策邊界
- 和線性迴歸一樣,邏輯迴歸也可以擴充套件到多餘3維的情況,只是不可以做可視化了,代數原理是一致的
- 和線性迴歸不一樣,邏輯迴歸應該沒有“正規方程”,大叔昨天按照線性迴歸的正規方程的推導思路推導並未得出結果,查資料也未果
- 除了梯度下降法,牛頓法和擬牛頓法也是迭代下降演算法,而且下降效率更好,大叔稍後將會寫一篇博文介紹之
祝元旦快樂!