基本數論-素數判斷

一、暴力求解

　　1、一個共識

　　 x = a*b且x = sqrt(x)*sqrt(x) => a==b==sqrt(x)或者a<sqrt(x) 且 b > sqrt(x),即要麽a==b要麽一個大於根號x一個小於根號x

　　 且a = x/b,那麽我們只用判斷小於sqrt(x)的數是否可以整除x即可。　　　　　　　　　

　　2、暴力求法（O(n^(2/3))）

　　3、素數普通篩選(n*log(n))

　　　　思想:任何一個素x = 素數*一個數，那麽我們可以在找到一個素數的時候，再花n/i的時間去把現在可以確定不是素數的數給標記出來。

　　　　如:已知2是一個素數那麽:2，4，6，8，10，12...2*i都不是素數。

　　　　那麽時間復雜度為:n/2+n/3+n/5+......+n/p,p為小於n的素數那麽漸進時間復雜度為O(n*log(n))

void getPrime(int x,int* primes){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(primes[i]==0){
            for(int j=2;j*i<=x;j++)
                primes[j*i] = 1;
        }
    }
}

　　4、素數篩選之線性篩選(o(n))

　　　　由3我們可以知道，任何一個數字都可以有一個素數乘一個數得到。比如2是素數那麽4,6,8,10,12,14,16....2*i都不是素數了，比如3是素數那麽6,9,12,15...3*i都不是素數了，我們

　　　　可以看出在我們標記不是素數的時候6,12等在2中標記過，在3中也被標記過這樣一來就多了很多重復的操作，那麽怎麽去優化呢?

　　　　我們最容易想到的就是在int j這個循環中加入,prime[j*i]!=1這個標誌，就可以很容易的跳過多余的標記，那麽我們總共標記了n個元素所以時間復雜度為O(N).

void getPrimeLine(int x,int* primes){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(primes[i]==0){
            for(int j=2;j*i<=x&&primes[j*i]!=1;j++)
                primes[j*i] = 1;
        }
    }
}

　　　或者我們可以根據當前的已知的素數來標記如已知 1,2,3,5現在第6次標記就用1,2,3,5分別乘2,3,4,5,6這樣每次乘出來的也不一樣最終也不會重復標記，因而時間復雜度為O(N)

數論初步之素數判斷