https://zybuluo.com/ysner/note/1109102

逆元求解

費馬小定理

假如a是一個整數，b是一個素數，\(gcd(a,p)=1\),則
\(a^{p-1}\equiv1(mod(p))\)
應用：

• 降次：\(a^bmod(p)=a^{(b)mod (p)}mod(p)\)

• 質數逆元：\(\frac{1}{a}mod (p)=a^(p-2)mod(p)\)

  歐拉定理

  若\(n,a\)為正整數，且\(n,a\)互質，則
  \(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod(n))\)
  費馬小定理是歐拉定理的特殊情況，因為\(n\)為素數時，\(\phi(n)=n-1\)。
  拓歐降次：
• 當\(n>1\)時,\(a^b\%n=a^{b\%\phi(n)}\%n\)
• 當\(b\leq\phi(n)\)時，暴算
• 當\(b>\phi(n)\)時，\(a^b\%n=a^{b\%\phi(n)}\%n\)
  拓歐解方程

• 求解\(a\equiv 1(mod(q)),x>0\)
  則x解集為\(\phi(q)\)的約數與倍數。

  實踐

  給定\(a,p(p>1),gcd(a,p)=1\),求\(a\)在模\(p\)意義下的逆元。

• 用Exgcd解方程\(ax\equiv 1(mod(p))\)
  即\(ax+by=1\)

  int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
  {
  if(!b) x=1,y=0,d=a;
  else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
  }
  {
    re int a;
    exgcd(i,p,g,x,y);
    while(x<0)    x+=p;
    printf("%d\n",x);
  }
   
  

• 利用歐拉定理\(a^{\phi(n)}\equiv1(mod(n))\)
  有式\(a^{-1}\equiv a^{\phi(n)-1}(mod(n))\)
• n為質數時，費馬小定理
  \(a^{-1}\equiv a^{n-2}(mod(n))\)

• 線性求解
  \(inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i]\)

  矩陣乘法

  struct matrix{
  int a[100][100];
  matrix()
  {
    memset(a,0,sizeof(a));
  }
  int * operator [](int x)
  {
      return a[x];
  }
  matrix operator *(matrix b)
  {
      matrix c;
      for(int i=0;i<l;i++)
      for(int j=0;j<l;j++)
      for(int k=0;k<l;k++)
      c[i][k]=(c[i][k]+1ll*a[i][j]*b[j][k])%w;
      return c;
  }
  }S,T;
   
  

  高斯消元

  [專題總結][1]

  組合數學

  不可重組合數學（留坑）

• \(C^n_m\)表示在\(m\)中選\(n\)個的方案數。（把\(m\)個無區別物品放到\(n\)個有區別籃子的方案數)
  \(C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
  \(C^m_n=C_{n-1}^{m-1}+C^m_{n-1}\)
  \(C^k_n=C^{n-k}_n\)
  \(C^{k+1}_n=C^k_n*\frac{n-k}{k+1}\)
  \[(a+b)^n=\sum^n_{k=0}C_n^k a^{n-k} b^k\]
• \(P^n_m\)表示在\(m\)中選\(n\)個的排列數。（把\(m\)個有區別物品放到\(n\)個有區別籃子的方案數）
  \(P_m^n=C_m^n*n!\)

• \(S^n_m\)表示斯特林數。（把\(m\)個有區別物品放到\(n\)個無區別籃子，且籃子不空的方案數）
  \(S_m^n=S_m^{n-1}*m+S_{m-1}^{n-1}\)
  \(S_m^n=0(m>n)\)

可重組合數學

可重排列

有\(k\)個元素，其中第\(i\)個元素有\(n_i\)個，求全排列數。
\(P‘=\frac{(\sum_{i=1}^k n_i)!}{n_i!n_2!...n_k!}\)
即先全排列，然後給每個元素編號。

可重組合

有\(k\)個元素，每個元素可選無窮多個,一共選\(k\)個，求方案數。
\(C‘=C_{k-n+1}^{n-1}=C_{k-n+1}^k\)
假如第\(i\)個元素選\(x_i\)個，那麽原問題變為\(x_1+x_2+...+x_n=k\)。
令\(y_i=x_i+1\),那麽\(y_1+y_2+y_3+...+y_n=k+n\)
此時\(y>0\),即每個元素都要選。所以等於在\(k+n\)個元素(\(k+n-1\)個空位)間放\(n-1\)個隔板。

卡特蘭數

前幾個數：\(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 1767263190\)
好像我只會用它打表找規律
公式:
\(C‘[n]=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)
\(C‘[n]=\sum_{i=1}^{n-1} C‘^iC‘^{n-i}\)
應用：

• 一個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
• n個節點構成的二叉樹，共有多少種情形？
• 求一個凸多邊形區域劃分成三角形區域的方法數？
• 在圓上選擇2n個點，將這些點成對鏈接起來使得所得到的n條線段不相交，一共有多少種方法？
• n*n的方格地圖中，從一個角到另外一個角，不跨越對角線的路徑數.

• n層的階梯切割為n個矩形的切法數。

  數論分塊

  求解\(\sum_{i+1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)
  據觀察，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的取值只有\(\sqrt{n}\)個。
  定理：若有一個值\(i\)，那麽數論分塊中其同值上界為\(ceil=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor\)。
  即在\([i,ceil]\)這一段區間內，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的取值是一樣的，於是可計算整塊貢獻。

  int l = 1 , r , ans = 0;
  while(l<=n){
  r = n/(n/l);    
  ans += (r-l+1)*(n/i);
  l = r + 1;
  }

數論初步