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線性代數複習四——矩陣的維數和秩

說明:以後前一部分主要講各種定義以及定理,用題目對定理來進行說明則放到後一板塊

定義: Rn中的一個子空間Rn中的集合H,具有以下三個性質:
a. 零向量屬於H
b. 對H 中的任何向量uvu+v屬於H
c. 對H中任意向量u和數c,c u屬於H
即子空間對加法和標量乘法是封閉的
僅含零向量的子空間稱為零子空間
Rn中子空間H 的一組H 中一個線性無關組,它生成H

矩陣A的列空間的A的各列的線性組合的集合,記作 Col A
矩陣A的零空間是齊次方程AX=0的所有解的集合,記作 Nul A
當線性方程組寫成AX=b的形式,Col A就是所有事方程有解的向量b的集合
矩陣A的主元列構成Col A的基
方程AX=0

的解的引數形式實際上就是確定Nul A的基

非零子空間H維數,用dim H 表示,是H 的任意一個基的向量個數,零子空間{0}的維數定義為零
矩陣A的(rank A)是A的列空間的維數,因為A的主元列形成Col A的一個基,A的秩正好是A的主元列的個數

秩定理:如果一個矩陣A有n列,則 rank A+ dim Nul A = n

最後接著上次最後給出的定理繼續給出一些等價命題
設A為NxN矩陣,則下列命題是等價的:
m. A的列向量構成Rn的一個基
n. Col A=Rn
o. dim Col A=n
p. rank A=n
q. Nul A={0}
r. dim Nul A=0

A矩陣的零空間的基

首先把方程Ax=0的解寫成引數向量的形式

這裡寫圖片描述 這裡寫圖片描述

通解為這裡寫圖片描述為自由變數

這裡寫圖片描述

這裡寫圖片描述這裡寫圖片描述生成Nul A

注:設這裡寫圖片描述,雖然H 中的點也在R3中,但它構成的是一個平面,對映這裡寫圖片描述HR2之間保持線性組合關係的一一對應對映,我們稱這種對映是同構的且HR2同構,即若矩陣A是3x5的,有三個主元列,則Nul A!=R2

這一講就到這裡,我們下次繼續~
這裡寫圖片描述