7. 無窮級數

7.1 正項級數斂散性的判定

關於正項級數的斂散性的判別法一共有四個

1. 先考慮比值法
2. 再考慮根值法
3. 比較判別法,或者是混合使用等價無窮小
4. 比較判別法的極限形式
5. 可以考慮用定義, 性質或者基本定理進行判定

李王全書: P247.例2,3,5,6

7.2 交錯級數斂散性的判定

判別交錯級數的斂散性的方法

1. 萊布尼茨判別準則
2. 當原級數不能滿足萊布尼茨條件時, 可考慮極限加括號以後的級數或考察其絕對值級數. 利用絕對收斂的級數一定收斂

李王全書: P250.例7

7.3 任意項級數的斂散性判定

1. 利用絕對收斂的級數一定收斂
2. 如果絕對值級數發散, 當然不能斷定原級數一定發散, 此時要判定原級數的斂散性往往要利用級數的性質或定義

李王全書: P251.例9,10,17,19

7.4 有關常數項級數的證明題與綜合題

李王全書: P256.例20,21,24,25,26,28

7.5 求冪級數的收斂域

先求收斂半徑R, 再考慮收斂區間的兩個端點的斂散性, 便可求得收斂域

李王全書: P265.例30,31,32

7.6 將函式展開為冪級數

1. 嘗試用間接的方法, 利用給出的幾個常用的麥克勞林展開式, 通過適量的變數代換或藉助冪級數性質(四則運算, 逐項求導, 逐項積分)將函式展開為冪級數
2. 直接法: 利用各階導數, 寫出泰勒級數, 再判斷餘項是否為0

李王全書: P268.例33,34,35,36

7.7 級數求和

1. 利用級數定義求部分和, 然後求極限得級數和
2. 藉助於冪級數的和函式
3. 利用麥克勞林展開式及冪級數的性質

李王全書: P270.例37,38,39,42,43,

7.8 有關收斂定理的使用

熟悉收斂定理

李王全書: P277.例44

7.9 將函式展開為傅立葉級數

題型包括展開為:

1. 將函式展開為傅立葉級數
2. 分別展開為正弦級數和餘弦級數
3. 展開為固定區間[-l,l]的級數

李王全書: P278.例47,48,49