無圈圖：一個圖的任何子圖都不是圈

樹：連通無圈圖

• 樹刪除的任意一條邊都會變成非連通圖產品
• 對樹中給定的兩個結點的x，y，樹中存在唯一一條XY路，因此此路為測地線
• 若樹有Ñ個結點，對條邊，則P = N-1，因此，樹是最小連通的（滿足該關係的不一定是樹，樹一定滿足該關係）
• 設S為n個正整陣列成的序列d1，d2，d3 ... dn，其中，d1 d2 d3 ... dn，並且d1 + d2 + d3 + ... + dn = 2（n-1），則存在一個樹，度序列為小號
• 判斷非同構樹：度序列，最長路的長度，對給定的唯一度數相對應結點間的最短路的長度
• 非平凡樹的葉子樹有下面公式

的樹高度：根下面的行數

森林：所有連通分量都是樹

摹的生成樹：連通圖摹的某個生成子圖為一棵樹

權重：每條邊上的數字

K-差結點：設v是圖ģ的生成樹Ť的結點，若其度數滿足degG（ⅴ）-degT（V）= K，則稱結點v為K-差結點，整數ķ稱為結點v的差額，若K = 0，則稱v為度保持結點

• 設圖ģ是含Ñ個結點，Q條邊的連通圖，則圖G ^生成樹的所有結點的差額和為2Q-2（N-1）= 2（Q-N + 1）

最小生成樹：代價最小的生成樹

• 貪心演算法：演算法每一步要求選出可以獲得的最好的（權重最小的）邊，並且要保證加入此邊後不會形成圈
• 採用Kruskal演算法
  ：演算法該使用了一種邊匯出子圖產品。的特殊型別子圖設集合阿為圖ģ的邊集的子集，稱圖ħ為集合甲的邊匯出子圖，當圖ħ滿足：電子（H）= A並且V（H）= {v：v與集合A內的邊相關聯}，記作<A>

1. S = 
2. 在已排好序的表L中的下一條邊e，若e S且匯出子圖<S   {e}>是無圈圖，則令S = S   {e}（按照邊權重大小加入順序）
3. 若| S | = n-1，演算法停止，輸出集合S.否則，轉第二步，繼續遍歷表L.

• Prim演算法（廣度優先搜尋）：

1. 選出結點v，令V（T）= {v}，E（T）= 
2. 在所有u V(T)的結點中，若連線結點u和w的邊e = uw是最小權重邊，其中w V(T)則令V(T）= V(T)  {u}，                 E(T)= E(T)  {uw}（演算法每一步得到的都是樹）
3. 若| E（T）| = n-1，演算法終止，輸出E（T）。否則，轉步驟2，向樹種增加新的結點

二分圖：圖ģ的結點集V（G）可以分為兩個非空子集V1和V2，並且滿足圖ģ的邊XY關聯的兩個結點的x，y分別屬於這兩個子集，則圖ģ為二分圖結。點V1，V2時圖ģ的部分或者說是結點的劃分集。

如果給不同的結點集著上不同的顏色，則二分圖產品中任意兩相鄰接的兩個結點都有著黑白兩種不同的顏色。

所有的樹都是二分圖

• 對於任何的二分圖，顏色兩個集合的基數的英文個不變數。

1. | V1 | = | V2 | 圖ģ的英文平衡的
2. | V1 | - | V2 | = 1圖G是準平衡的
3. | V1 | - | V2 |  2圖G是偏斜的

• 對於路光合速率，如果Ñ是偶數，光合速率是平衡的。如果Ñ是奇數，光合速率是準平衡的
• 判斷圖ģ是否是二分圖（A，B分別表示相反的符號）

1. 取任一結點，標記為一個
2. 所有與一個鄰接的結點標記為b
3. 對任意已標記結點V，將v所有鄰接且未標記的結點標記為與v相反的符號
4. 重複步驟3，知道不存在與已標記結點向鄰接的未標記結點
5. 如果圖中還有未標記結點，那麼，這些結點一定是在一個新的連通分量中，再選擇其中一個結點標記為一個，轉到步驟3
6. 如果得到的圖中，所有鄰接的結點都標記為不同的標號，那麼圖ģ就是二分圖，否則ģ不是二分圖

• 圖ģ是二分圖當且僅當圖ģ不含奇圈（含奇數個結點的圈）

二分圖在涉及匹配的問題中很重要

圖的匹配M是由一些邊組成的集合，其中的任何兩個邊都不關聯

完全匹配：設X，Y是圖G的兩個部分，若X中的每個結點都關聯於匹配M中的一條邊，稱M為從X到ý的一個完全匹配（這時M未必是Y到X的完全匹配）

完美匹配：若M是從X到Y，也是從Y到X的完全匹配，則M為完美匹配，這要求| X | = | Y |，即圖G是平衡的

最大匹配：匹配M在所有匹配中基數最大（最大就業率問題）

極大匹配：不存在更大的匹配M‘包含M。極大匹配是指不能通過增加邊來擴大匹配

圖G的M-交錯路：是由在M中的邊和不在M中的邊交替出現構成的

M-匹配：若結點v與M中的某條邊相關聯，稱v是M-匹配的，否則稱為M-不匹配

M增廣路：連線連個M-不匹配結點的交錯路

• M增廣路不必包含M的所有邊；一個圖可以有多條M-增廣路；M-增廣路開始並終止於不在M中的邊；
• Gerge匹配定理：圖G的匹配M是最大匹配當且僅當G中沒有M-增廣路

完美匹配M：其中每個結點都是M-匹配的。完美匹配的結點數一定為偶數。

• Hall匹配定理（二分圖中的完全匹配）：二分圖G的兩個部分X，Y，若存在從X到Y的完全匹配，當且僅當對任意結點子集SX，都有| N(S) |  | S |。 (N(S)表示所有與S中的結點相鄰接的結點集的並集)
• Hall婚配定理（二分圖中的完美匹配）：二分圖G的兩個部分X，Y，滿足|X| = |Y|。圖G存在完美匹配，當且僅當對任意結點子集SX，都有| N(S) |  | S |。
• 正則二分圖G一定平衡，即X，Y有相同的結點數。
• 若二分圖是正則圖，則一定存在完美匹配

相異代表系問題可以用完全匹配解決。