矩陣分析一子空間和特徵分解

線性方程組Ax=b的行檢視是超平面，列檢視是列向量的線性組合。從這個視角，將矩陣與向量組聯絡起來了。

5.1 線性相關、線性無關

定義：給定向量組A： $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{m}$

. . . , a m $a_1,a_2,...,a_m$ ，如果存在不全為零的數

k_{1}, k_{2},, . . ., k_{m}

$k_1,k_2,,...,k_m$ ，使得

k_{1} a_{1} + k_{2} a_{2} + . . . + k_{m} a_{m} = 0

$k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m=0$ ，則稱向量組A是線性相關的，否則稱為線性無關的。

定理：向量組 $A:{ai,i=1,...,m}$ 線性相關 $\Leftrightarrow$ Ax=0有非零解 $\Leftrightarrow$ $R(A)<m$ ;

向量組 $A:{ai,i=1,...,m}$ 線性無關 $\Leftrightarrow$ Ax=0有唯一解，即零解 $\Leftrightarrow$ $R(A)=m$ ;

向量組的秩等於其最大線性無關向量組中向量個數。

定理：矩陣的秩等於它的列向量組的秩。

定理：如果n維向量組a1,…,ar是一組兩兩正交的非零向量，那麼a1,…,ar線性無關。

定理7：設 $A \in R^{m\times n}$ 的秩 $R(A)=r$ ，則n元齊次線性方程組 $Ax=0$ 的解集S的秩 $R(S)=n-r$ 。解集中任意n-r個線性無關解都可構成它的基礎解系。

5.2 span，基，子空間

向量組 $A:{a_i,i=1,...,N,a_i \in R^m}$ 線性無關，則可以構成一個子空間S

$S=span[a_1,...,a_N]=\{y \in R^m|y=\sum_{i=1}^Nk_ia_i\}$

向量組A稱為子空間S的一組基。如果向量組A兩兩正交（ $a_i^Ta_j=0$ ），則稱為正交基，如果向量 $a_i$ 為單位向量，則稱為規範正交基。

子空間的基有很多，但是基的秩（即向量個數）是不變的，稱為子空間的維度。

從子空間定義可知，子空間一定包含原點（全為0的向量）。

5.2.1 四個基本子空間

1. 列空間 column space

列空間也稱為值域或span，用C(A)表示，其中 $A \in R^{m\times n}$ ，其定義為所有列向量的線性組合即

$C(A)=\{y|y=Ax, x\in R^m\}$ , C(A)是 $R^m$ 的子空間。

2. 零空間 null space

零空間N(A)定義為Ax=0的所有解構成的集合。N(A)是 $R^n$ 的子空間。

$N(A)=\{x|Ax=0\}$

3. 行空間 row space

行空間是所有行的線性組合，表示為 $C(A^T) \in R^n$ ,是 $R^n$ 的子空間

4. 左零空間 left null space

$N (A^{T}) = {y | y A = 0} = {y | A^{T} y = 0}$

矩陣分析一子空間和特徵分解

5.1 線性相關、線性無關

5.2 span，基，子空間

5.2.1 四個基本子空間

1. 列空間 column space

2. 零空間 null space

3. 行空間 row space

4. 左零空間 left null space

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1. 列空間 column space

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3. 行空間 row space

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