今天做了數學建模的作業，順便發了。

記錄一下我的好心情。

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作業如下：

8.在腐蝕刻線試驗中，已知腐蝕深度y與腐蝕時間x有關，現收集到資料如表4.33所示。

                                               表4.33 腐蝕深度與腐蝕時間

x/s             5   10    15    20     30    40     50     60   70    90    110

y/um         6    10   10    13     16   17     19     23   25    29    36

(1)求經驗迴歸方程^y=^a+^bx;

(2)檢驗一元線性迴歸方程的顯著性(a=0.05);

(3)當腐蝕時間為x0=25s時，求腐蝕深度的預測值。

解：(1)

~x=(5+10+15+20+30+40+50+60+70+90+110)/11=500/11;

~y=(6+10+10+13+16+17+19+23+25+29+36)/11=204/11;       

Sxy=5*6+10*10+15*10+20*13+30*16+40*17+50*19+60*23+70*25+90*29+110*36=12350;

Sxx=5*5+10*10+15*15+20*20+30*30+40*40+50*50+60*60+70*70+90*90+110*110=34450；

^b=(Sxy-n*~x*~y)/(Sxx-n*~x*~x)=0.2625

^a=~y-^b*~x=6.6236;

經驗迴歸方程為：^y=6.6236+0.2625*x;

(2)假設：H0:b=0(即不存線上性關係)

編寫MATLAB指令對其做迴歸分析如下：

x=[5   10    15    20    30    40     50    60    70    90   110];

X=[1 5;1 10;1  15;1  20;1 30;1  40;1  50;1  60;1  70;1  90;1 110];

y=[6   10    10    13    16    17     19    23    25    29   36];

plot(x,y,'r.'),grid on

[b,bint,r,rint,states]=regress(y',X)

Rcoplot(r,rint)

執行得時序殘差圖如下所示

由上可知，第一個點落在以y=0為中軸線的帶狀區域之外，即點(5,6)是奇異點，應該刪除。

再次編寫MATLAB指令對其做迴歸分析如下：

x=[ 10   15    20     30   40     50     60   70    90    110];

X=[1 10;1  15;1  20;1 30;1  40;1  50;1  60;1  70;1  90;1 110];

y=[ 10   10    13     16   17     19     23   25    29    36];

plot(x,y,'r.'),grid on

[b,bint,r,rint,states]=regress(y',X)

rcoplot(r,rint)

執行的迴歸係數為：^a=7.2336,^b=0.2539.於是得一元線性迴歸方程為：^y=7.2336+0.2539*x;

其置信度為95%的置信區間分別為:[ 6.0467 , 8.4204]和[0.2336 , 0.2741].

時序殘差圖如下所示：

R^2= 0.9905，F=837.6023，p=0.0000.由於R^2=0.9905，接近於1，所以迴歸直線同樣本觀測值得擬合程度很好，F值為837.6023，遠大於其臨界值F0.05(1,9)=665.2648，p的值為0遠小於顯著性水平0.05，這說明隨機變數Y與解釋變數x之間有顯著的線性關係。根據時序殘差圖可以判斷，殘差之落在以y=0為中軸線的帶狀區域內，所以無奇異點，所以迴歸模型滿足假設條件。

(3)由(2)可知，^y=7.2336+0.2539*x，將x0=25s代入得，y=13.5811，即腐蝕預測值為13.5811um。

9.鍊鋼過程中用來盛鋼水的鋼包，由於受鋼水的浸溼作用，容積會不斷擴大，表4.34給出了使用次數x與容積增大量y的15對實驗資料。

                                                                          表4.34

x       2       3      4       5     6       7     8      9      10      11 

y  6.42    8.20     9.58    9.50   9.70    10.00 9.93    9.99    10.49  10.59 

x  12      13     14      15     16

y   10.60   10.80   10.60   10.90   10.76

根據經驗，y與x之間有如下形式的非線性模型y=ae^(b/x),試找出x與y的關係式。

解：編寫MATLAB指令對其做迴歸分析如下：

x=[2: 16];

Y=[6.42 8.20  9.58  9.50 9.70  10.00  9.93 9.99  10.49  10.59 10.60  10.80    10.60  10.90   10.76];

myfunc=inline('beta(1)*exp(beta(2)./x)','beta','x');

beta=nlinfit(x,Y,myfunc,[1 1]);

a=beta(1),b=beta(2)

y= beta(1)*exp(beta(2)./x);

plot(x,Y,'r+',x,y,'b'),grid on

執行得迴歸係數為：a=11.6037,b=-1.0641.所以迴歸方程如下:y=11.6037*e^(-1.0641/x).

模擬圖如下：

PS：我是一條擁有超過7秒記憶的鹹魚。