很好的關於貝葉斯理論的文章
貝葉斯推斷及其網際網路應用
作者：阮一峰
一、什麼是貝葉斯推斷
貝葉斯推斷（Bayesian inference）是一種統計學方法，用來估計統計量的某種性質。
它是貝葉斯定理（Bayes' theorem）的應用。英國數學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）在1763年發表的一篇論文中，首先提出了這個定理。
貝葉斯推斷與其他統計學推斷方法截然不同。它建立在主觀判斷的基礎上，也就是說，你可以不需要客觀證據，先估計一個值，然後根據實際結果不斷修正。正是因為它的主觀性太強，曾經遭到許多統計學家的詬病。
貝葉斯推斷需要大量的計算，因此歷史上很長一段時間，無法得到廣泛應用。只有計算機誕生以後，它才獲得真正的重視。人們發現，許多統計量是無法事先進行客觀判斷的，而網際網路時代出現的大型資料集，再加上高速運算能力，為驗證這些統計量提供了方便，也為應用貝葉斯推斷創造了條件，它的威力正在日益顯現。
二、貝葉斯定理
要理解貝葉斯推斷，必須先理解貝葉斯定理。後者實際上就是計算"條件概率"的公式。
所謂"條件概率"（Conditional probability），就是指在事件B發生的情況下，事件A發生的概率，用P(A|B)來表示。
根據文氏圖，可以很清楚地看到在事件B發生的情況下，事件A發生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。
因此，
同理可得，
所以，
即
這就是條件概率的計算公式。
三、全概率公式
由於後面要用到，所以除了條件概率以外，這裡還要推導全概率公式。
假定樣本空間S，是兩個事件A與A'的和。
上圖中，紅色部分是事件A，綠色部分是事件A'，它們共同構成了樣本空間S。
在這種情況下，事件B可以劃分成兩個部分。
即
在上一節的推導當中，我們已知
所以，
這就是全概率公式。它的含義是，如果A和A'構成樣本空間的一個劃分，那麼事件B的概率，就等於A和A'的概率分別乘以B對這兩個事件的條件概率之和。
將這個公式代入上一節的條件概率公式，就得到了條件概率的另一種寫法：
四、貝葉斯推斷的含義
對條件概率公式進行變形，可以得到如下形式：
我們把P(A)稱為"先驗概率"（Prior probability），即在B事件發生之前，我們對A事件概率的一個判斷。P(A|B)稱為"後驗概率"（Posterior probability），即在B事件發生之後，我們對A事件概率的重新評估。P(B|A)/P(B)稱為"可能性函式"（Likelyhood），這是一個調整因子，使得預估概率更接近真實概率。
所以，條件概率可以理解成下面的式子：
後驗概率 ＝ 先驗概率 ｘ 調整因子
這就是貝葉斯推斷的含義。我們先預估一個"先驗概率"，然後加入實驗結果，看這個實驗到底是增強還是削弱了"先驗概率"，由此得到更接近事實的"後驗概率"。
在這裡，如果"可能性函式"P(B|A)/P(B)>1，意味著"先驗概率"被增強，事件A的發生的可能性變大；如果"可能性函式"=1，意味著B事件無助於判斷事件A的可能性；如果"可能性函式"<1，意味著"先驗概率"被削弱，事件A的可能性變小。
五、【例子】水果糖問題
為了加深對貝葉斯推斷的理解，我們看兩個例子。
第一個例子。兩個一模一樣的碗，一號碗有30顆水果糖和10顆巧克力糖，二號碗有水果糖和巧克力糖各20顆。現在隨機選擇一個碗，從中摸出一顆糖，發現是水果糖。請問這顆水果糖來自一號碗的概率有多大？
我們假定，H1表示一號碗，H2表示二號碗。由於這兩個碗是一樣的，所以P(H1)=P(H2)，也就是說，在取出水果糖之前，這兩個碗被選中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我們把這個概率就叫做"先驗概率"，即沒有做實驗之前，來自一號碗的概率是0.5。
再假定，E表示水果糖，所以問題就變成了在已知E的情況下，來自一號碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我們把這個概率叫做"後驗概率"，即在E事件發生之後，對P(H1)的修正。
根據條件概率公式，得到
已知，P(H1)等於0.5，P(E|H1)為一號碗中取出水果糖的概率，等於0.75，那麼求出P(E)就可以得到答案。根據全概率公式，
所以，
將數字代入原方程，得到
這表明，來自一號碗的概率是0.6。也就是說，取出水果糖之後，H1事件的可能性得到了增強。
六、【例子】假陽性問題
第二個例子是一個醫學的常見問題，與現實生活關係緊密。
已知某種疾病的發病率是0.001，即1000人中會有1個人得病。現有一種試劑可以檢驗患者是否得病，它的準確率是0.99，即在患者確實得病的情況下，它有99%的可能呈現陽性。它的誤報率是5%，即在患者沒有得病的情況下，它有5%的可能呈現陽性。現有一個病人的檢驗結果為陽性，請問他確實得病的可能性有多大？
假定A事件表示得病，那麼P(A)為0.001。這就是"先驗概率"，即沒有做試驗之前，我們預計的發病率。再假定B事件表示陽性，那麼要計算的就是P(A|B)。這就是"後驗概率"，即做了試驗以後，對發病率的估計。
根據條件概率公式，
用全概率公式改寫分母，
將數字代入，
我們得到了一個驚人的結果，P(A|B)約等於0.019。也就是說，即使檢驗呈現陽性，病人得病的概率，也只是從0.1%增加到了2%左右。這就是所謂的"假陽性"，即陽性結果完全不足以說明病人得病。
為什麼會這樣？為什麼這種檢驗的準確率高達99%，但是可信度卻不到2%？答案是與它的誤報率太高有關。（【習題】如果誤報率從5%降為1%，請問病人得病的概率會變成多少？）
有興趣的朋友，還可以算一下"假陰性"問題，即檢驗結果為陰性，但是病人確實得病的概率有多大。然後問自己，"假陽性"和"假陰性"，哪一個才是醫學檢驗的主要風險？