線性迴歸、嶺迴歸、Lasso迴歸、邏輯迴歸的總結

對於所有的模型和演算法，都有一個目標方程，比較理想的目標方程應該有兩部分構成：損失函式和正則項，一個用來衡量模型的擬合效果，一個用來儘可能保證模型的簡單和穩定：

\begin{matrix} (2) & O b j (Θ) = L (Θ) + Ω (Θ) \end{matrix}

損失函式：
平方損失函式(Square loss)： $l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}) = (y_{i} - {\hat{y}}_{i})^{2}$
對數損失函式(Logistic loss)： $l (y_{i}, {\hat{y}}_{i}) = y_{i} \ln (1 + e^{- {\hat{y}}_{i}}) + (1 - y_{i}) \ln (1 + e^{{\hat{y}}_{i}})$
Regularization：

L2 norm:

Ω (ω) = λ ‖ ω ‖^{2}

L1 norm:

Ω (ω) = λ ‖ ω ‖_{1}

嶺迴歸和Lasso 迴歸是加了正則項的線性迴歸。

嶺迴歸的目標函式：平方損失函式+L2正則

\begin{matrix} (3) & O b j = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - ω^{T} x_{i})^{2} + λ ‖ ω ‖^{2} \end{matrix}

Lasso迴歸的目標函式：平方損失函式+L1正則

\begin{matrix} (4) & O b j = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - ω^{T} x_{i})^{2} + λ ‖ ω ‖_{1} \end{matrix}

Logistic迴歸的目標函式：對數損失函式+L2正則

\begin{matrix} (5) & O b j = \sum_{i = 1}^{n} [y_{i} \ln (1 + e^{- ω^{T} x_{i}}) + (1 - y_{i}) \ln (1 + e^{ω^{T} x_{i}})] + λ ‖ ω ‖^{2} \end{matrix}

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