什麼是快速排序

快速排序簡介

快速排序（英文名：Quicksort，有時候也叫做劃分交換排序）是一個高效的排序演算法，由Tony Hoare在1959年發明（1961年公佈）。當情況良好時，它可以比主要競爭對手的歸併排序和堆排序快上大約兩三倍。這是一個分治演算法，而且它就在原地排序。

所謂原地排序，就是指在原來的資料區域內進行重排，就像插入排序一般。而歸併排序就不一樣，它需要額外的空間來進行歸併排序操作。為了線上性時間與空間內歸併，它不能線上性時間內實現就地排序，原地排序對它來說並不足夠。而快速排序的優點就在於它是原地的，也就是說，它很節省記憶體。

引用一張來自維基百科的能夠非常清晰表示快速排序的示意圖如下：

快速排序的分治思想

由於快速排序採用了分治演算法，所以：

一、分解：本質上快速排序把資料劃分成幾份，所以快速排序通過選取一個關鍵資料，再根據它的大小，把原陣列分成兩個子陣列：第一個數組裡的數都比這個主元資料小或等於，而另一個數組裡的數都比這個主元資料要大或等於。

二、解決：用遞迴來處理兩個子陣列的排序。 （也就是說，遞迴地求上面圖示中左半部分，以及遞迴地求上面圖示中右半部分。）

三、合併：因為子陣列都是原址排序，所以不需要合併操作，通過上面兩步後陣列已經排好序了。

所以快速排序的主要思想是遞迴與劃分。

如何劃分

當然最重要的是它的複雜度是線性的，也就是Θ(n) 個劃分的子程式。

<code class="hljs autohotkey has-numbering">Partition(<span class="hljs-literal">A</span>,p,q)   // <span class="hljs-literal">A</span>[p,..q] 
<span class="hljs-number">1</span>   x=<span class="hljs-literal">A</span>[p]   // pivot=<span class="hljs-literal">A</span>[p] 主元 
<span class="hljs-number">2</span>   i=p 
<span class="hljs-number">3</span>   for j=p+<span class="hljs-number">1</span> to q
<span class="hljs-number">4</span>       do <span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-literal">A</span>[j]<=x
<span class="hljs-number">5</span>          then i=i+<span class="hljs-number">1</span> 
<span class="hljs-number">6</span>             exch <span class="hljs-literal">A</span>[i]<-><span class="hljs-literal">A</span>[j] 
<span class="hljs-number">7</span>   exch <span class="hljs-literal">A</span>[p]<-><span class="hljs-literal">A</span>[i] 
<span class="hljs-number">8</span>   <span class="hljs-keyword">return</span> i // i pivot </code><ul class="pre-numbering" style="display: block;"><li>1</li><li>2</li><li>3</li><li>4</li><li>5</li><li>6</li><li>7</li><li>8</li><li>9</li></ul>

這就是劃分的虛擬碼，基本的結構就是一個for迴圈語句，中間加上了一個if條件語句，它實現了對子陣列A[p...q]的原址排序。

剛開始時i 等於p ，j 等於p+1 。在這個迴圈中查詢i下標的資料，如果它比x 大，那就將其存放到“>=x”區域並將j 加1後進行下一次迴圈。而如果它比x 小，那就要做些動作來維持迴圈不變量了。將i 的下標加1後將下標i對應的資料和下標j所對應的資料互換位置。然後再移動區域的界限並開始下一次迴圈。

那麼這個演算法在n個數據下的執行時間大約是O(n) ，因為它幾乎把每個數都比較了一遍，而每個步驟所需的時間都為O(1) 。

上面這幅圖詳細的描述了Partition過程，每一行後也加了註釋。

將遞迴的思想作用於劃分上

有了上面這些準備工作，再加上分治的思想實現快速排序的虛擬碼也是很簡單的。

<code class="hljs autohotkey has-numbering">Quicksort(<span class="hljs-literal">A</span>,p,q) 
<span class="hljs-number">1</span>   <span class="hljs-keyword">if</span> p<q 
<span class="hljs-number">2</span>     then r=Partition(<span class="hljs-literal">A</span>,p,q)   
<span class="hljs-number">3</span>          Quicksort(<span class="hljs-literal">A</span>,p,r-<span class="hljs-number">1</span>) 
<span class="hljs-number">4</span>          Quicksort(<span class="hljs-literal">A</span>,r+<span class="hljs-number">1</span>,q) </code><ul class="pre-numbering" style="display: block;"><li>1</li><li>2</li><li>3</li><li>4</li><li>5</li></ul>

為了排序一個數組A的全部元素，初始呼叫時Quicksort(A,1,A.length)。

快速排序的演算法分析

相信通過前面的諸多實踐，大家也發現了快速排序的執行時間依賴於Partition過程，也就是依賴於劃分是否平衡，而歸根結底這還是由於輸入的元素決定的。

如果劃分是平衡的，那麼快速排序演算法效能就和歸併排序一樣。

如果劃分是不平衡的，那麼快速排序的效能就接近於插入排序。

怎樣是最壞的劃分

1）輸入的元素已經排序或逆向排序
2）每個劃分的一邊都沒有元素

也就是說當劃分產生的兩個子問題分別包含了n-1個元素和0個元素時，快速排序的最壞情況就發生了。

T(n)=T(0)+T(n−1)+\Theta(n)=Θ(1)+T(n−1)+Θ(n)=Θ(n−1)+Θ(n)=Θ(n 2 ) 

這是一個等差級數，就和插入排序一樣。它並不比插入排序快，因為當同樣是輸入元素已經逆向排好序時，插入演算法的執行時間為Θ(n) 。但快速排序仍舊是一個優秀的演算法，這是因為在平均情況下它已經很高效。

我們為最壞情況畫一個遞迴樹。

這是一課高度不平衡的遞迴樹，圖中左邊的那些T(0)的執行時間都為Θ(1) ，而總共有n個。

所以演算法的中執行時間為：

T(n)=Θ(n)+Θ(n 2 )=Θ(n 2 ) 

最壞劃分的演算法分析

通過上面的圖示我們知道了在最壞情況下快速排序的複雜度是Θ(n 2 ) ，但以圖示的方式並不是一種嚴謹的證明方式，我們應該使用代入法來證明它。

當輸入規模為n時，時間T(n)有如下遞迴式：

T(n)=max        0≤r≤n−1 (T(r)+T(n−r−1))+Θ(n)

除去主元后，在Partition函式中生成的兩個子問題的規模的和為n-1，所以r的規模才是0到n-1。

假設T(n)≤cn 2  成立，其中c為常數這個大家都知道的。於是上面的遞迴式為：

T(n)≤max        0≤r≤n−1 (cr 2 +c(n−r−1) 2 )+Θ(n)≤c∗max        0≤r≤n−1 (r 2 +(n−r−1) 2 )+Θ(n) 

1）而r 2 +(n−r−1) 2  對於r的二階導數為正，所以在區間0≤r≤n−1 的右端點取得最大值。

於是有max        0≤r≤n−1 (r 2 +(n−r−1) 2 )≤(n−1) 2 =n 2 −2n+1 ，所以對於T(n)有：

T(n)≤cn 2 −c(2n−1)+Θ(n) 

最終因為我們可以選擇一個足夠大的c ，來使得c(2n−1) 大於Θ(n) ，所以有

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