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容斥與反演總結

容斥和反演就是一個東西。

樸素容斥原理

|A1¯¯¯¯A2¯¯¯¯...An¯¯¯¯|=i=1N(1)ni|T|=i,T={x1,..,xi}|Ax1Ax2...Axi|
直接列舉所有子集計算。
例題:BZOJ4455

容斥的本質

坑待填。

反演的本質

就是有兩個式子。

Gn=i=0nan,iFi
Fn=i=0nbn,iGi
把下式帶入上式:
Gn=i=0nan,ij=0ibi,jGj
Gn=j=0nGji=jnan,ibi,j
如果滿足nj=ian,jbj,i=[n=i],那麼這兩個式子就可互相反演啦!

二項式反演

Gn=i=
0
n
(ni)FiGn=i=0n(1)ni(ni)Fi

它的本質就是:
j=in(nj)(1)ji(ji)=[n=i]
j=in(1)ji(ni)(niji)=[n=i]
d替換ji
(ni)d=0ni(1)d(