機器學習:資料降維
1、主成分分析(Principle Component Analysis,PCA)
PCA原理
主成分分析是最常用的一種降維方法,為了便於維度變換,作出如下假設:
1)樣本資料是維的。
2)原始座標系為:由標準正交基向量張成的空間,其中; 。
3)經過線性變換後的新座標系為:有標準正交基向量張成的空間,其中 ;
根據定義,有:
記,其個分量就是基向量在原始座標系中的投影,即:。根據標準正交基的性質,有:
1)
2)
根據定義有:。令座標變換矩陣為:
則有:。的第列就是在原始座標系中的投影,且有,。假設樣本點在原始座標系中的表示為:
令,則。
假設樣本點在新座標系中的表示為:
令,則。根據,有:
於是有:。則有:
丟棄其中的部分座標,將維度降到,則樣本點在低維座標系中的座標為。現在的問題時:丟棄哪些座標降維效果最好?於是就有了這樣的想法:基於降維之後的座標重構樣本時,儘量與原始樣本接近。若基於降維後的座標來重構:
令,即它是座標變換矩陣的前列,則;
考慮整個訓練集,原樣本點和基於投影重構的樣本點之間的距離為(即所有重構樣本點和原樣本點的整體誤差):
由於是標量,所以有:
於是有:
定義矩陣,即矩陣的第列就是。則可以證明:
其中,表示矩陣的Frobenius範數。接下類的證明需要用到矩陣F範數和矩陣跡的性質:
1)矩陣的F範數定義為:,即矩陣所有元素平方和的開方,F範數有以下性質:
a)
b),tr為矩陣的跡。
2)對於方陣,矩陣的跡定義為:,即矩陣對角線元素之和,矩陣的跡有以下性質:
a)
b)
c) 若為階矩陣,為階矩陣,則
d) 矩陣的跡等於矩陣的特徵值之和,
e) 對任何正整數有:
證明過程如下:
令,則有:
於是:
要求解的最優化問題:
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