資料結構複習之【圖】
一、基本術語
圖:由有窮、非空點集和邊集合組成,簡寫成G(V,E);
Vertex:圖中的頂點;
無向圖:圖中每條邊都沒有方向;
有向圖:圖中每條邊都有方向;
無向邊:邊是沒有方向的,寫為(a,b)
有向邊:邊是有方向的,寫為<a,b>
有向邊也成為弧;開始頂點稱為弧尾,結束頂點稱為弧頭;
簡單圖:不存在指向自己的邊、不存在兩條重複的邊的圖;
無向完全圖:每個頂點之間都有一條邊的無向圖;
有向完全圖:每個頂點之間都有兩條互為相反的邊的無向圖;
稀疏圖:邊相對於頂點來說很少的圖;
稠密圖:邊很多的圖;
權重:圖中的邊可能會帶有一個權重,為了區分邊的長短;
網:帶有權重的圖;
度:與特定頂點相連線的邊數;
出度、入度:對於有向圖的概念,出度表示此頂點為起點的邊的數目,入度表示此頂點為終點的邊的數目;
環:第一個頂點和最後一個頂點相同的路徑;
簡單環:除去第一個頂點和最後一個頂點後沒有重複頂點的環;
連通圖:任意兩個頂點都相互連通的圖;
極大連通子圖:包含竟可能多的頂點(必須是連通的),即找不到另外一個頂點,使得此頂點能夠連線到此極大連通子圖的任意一個頂點;
連通分量:極大連通子圖的數量;
強連通圖:此為有向圖的概念,表示任意兩個頂點a,b,使得a能夠連線到b,b也能連線到a 的圖;
生成樹:n個頂點,n-1條邊,並且保證n個頂點相互連通(不存在環);
最小生成樹
AOV網:結點表示活動的網;
AOE網:邊表示活動的持續時間的網;
二、圖的儲存結構
1.鄰接矩陣
維持一個二維陣列,arr[i][j]表示i到j的邊,如果兩頂點之間存在邊,則為1,否則為0;
維持一個一維陣列,儲存頂點資訊,比如頂點的名字;
下圖為一般的有向圖:
注意:如果我們要看vi節點鄰接的點,則只需要遍歷arr[i]即可;
下圖為帶有權重的圖的鄰接矩陣表示法:
缺點:鄰接矩陣表示法對於稀疏圖來說不合理,因為太浪費空間;
2.鄰接表
如果圖示一般的圖,則如下圖:
如果是網,即邊帶有權值,則如下圖:
3.十字連結串列
只針對有向圖;,適用於計算出度和入度;
頂點結點:
邊結點:
好處:建立的時間複雜度和鄰接連結串列相同,但是能夠同時計算入度和出度;
4.鄰接多重表
針對無向圖; 如果我們只是單純對節點進行操作,則鄰接表是一個很好的選擇,但是如果我們要在鄰接表中刪除一條邊,則需要刪除四個頂點(因為無向圖);
在鄰接多重表中,只需要刪除一個節點,即可完成邊的刪除,因此比較方便;
因此鄰接多重表適用於對邊進行刪除的操作;
頂點節點和鄰接表沒區別,邊表節點如下圖:
比如:
5.邊集陣列
適合依次對邊進行操作;
儲存邊的資訊,如下圖:
三、圖的遍歷
DFS
思想:往深裡遍歷,如果不能深入,則回朔;
比如:
/**
* O(v+e)
*/
@Test
public void DFS() {
for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {
if (!visited[i]) {
DFS_Traverse(g, i);
}
}
}
private void DFS_Traverse(Graph2 g, int i) {
visited[i] = true;
System.out.println(i);
EdgeNode node = g.nodes[i].next;
while (node != null) {
if (!visited[node.idx]) {
DFS_Traverse(g, node.idx);
}
node = node.next;
}
}
BFS
思想:對所有鄰接節點遍歷;
/**
* O(v+e)
*/
@Test
public void BFS() {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {
if (!visited[i]) {
visited[i] = true;
list.add(i);
System.out.println(i);
while (!list.isEmpty()) {
int k = list.remove(0);
EdgeNode current = g.nodes[k].next;
while (current != null) {
if (!visited[current.idx]) {
visited[current.idx] = true;
System.out.println(current.idx);
list.add(current.idx);
}
current = current.next;
}
}
}
}
}
四、最小生成樹
prim
鄰接矩陣儲存;/**
* 時間複雜度為O(n^2)
* 適用於稠密圖
*/
@Test
public void prim(){
int cost[] = new int[9];
int pre[] = new int[9];
for(int i=0;i<g1.vertex.length;i++){
cost[i] = g1.adjMatrix[0][i];
}
cost[0] = 0;
for(int i=1;i<g1.vertex.length;i++){
int min = 65536;
int k = 0;
for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){
if(cost[j]!=0&&cost[j]<min){
min = cost[j];
k = j;
}
}
cost[k] = 0;
System.out.println(pre[k]+","+k);
for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){
if(cost[j]!=0&&g1.adjMatrix[k][j]<cost[j]){
pre[j] = k;
cost[j] = g1.adjMatrix[k][j];
}
}
}
}
krustral
邊集陣列儲存;/**
* 時間複雜度:O(eloge)
* 適用於稀疏圖
*/
@Test
public void krustral(){
Edge[] edges = initEdges();
int parent[] = new int[9];
for(int i=0;i<edges.length;i++){
Edge edge = edges[i];
int m = find(parent,edge.begin);
int n = find(parent,edge.end);
if(m!=n){
parent[m] = n;
System.out.println(m+","+n);
}
}
}
private static int find(int[] parent, int f) {
while (parent[f] > 0) {
f = parent[f];
}
return f;
}
五、最短路徑
dijkstra演算法
鄰接矩陣儲存;//O(n^2)
@Test
public void Dijkstra(){
int distance[] = new int[9];
int pre[] = new int[9];
boolean finished[] = new boolean[9];
finished[0] = true;
for(int i=0;i<9;i++){
distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];
}
int k = 0;
for(int i=1;i<9;i++){
int min = 65536;
for(int j=0;j<9;j++){
if(!finished[j]&&distance[j]<min){
min = distance[j];
k = j;
}
}
finished[k] = true;
System.out.println(pre[k]+","+k);
for(int j=1;j<9;j++){
if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){
distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];
pre[j] = k;
}
}
}
}
Floyd
使用: (1)鄰接矩陣:儲存圖;/**
* O(n^3)
* 求出任意頂點之間的距離
*/
@Test
public void floyd(Graph1 g) {
int i, j, k;
int length = g.vertex.length;
int dist[][] = new int[length][length];
int pre[][] = new int[length][length];
for (i = 0; i < g.vertex.length; i++) {
for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {
pre[i][j] = j;
dist[i][j] = g.adjMatrix[i][j];
}
}
for (i = 0; i < length; i++) {
for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {
for (k = 0; k < g.vertex.length; k++) {
if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
pre[i][j] = pre[i][k];
}
}
}
}
System.out.println();
}
六、拓撲排序
使用資料結構:
(1)棧:用來存放入度為0的節點;
(2)變種鄰接列表:作為圖的儲存結構;此鄰接列表的頂點節點還需要存放入度屬性;
/**
* O(n+e)
*/
private static String topologicalSort(Graph2 g2) {
Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();
int count = 0;
for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){
if(g2.nodes[i].indegree==0){
s.push(i);
}
}
while(!s.isEmpty()){
int value = s.pop();
System.out.println(value+"、");
count++;
EdgeNode node = g2.nodes[value].next;
while(node!=null){
g2.nodes[node.idx].indegree--;
if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){
s.push(node.idx);
}
node = node.next;
}
}
if(count<g2.nodes.length){
return "error";
}
return "ok";
}
七、關鍵路徑
使用資料結構: (1)變種鄰接列表:同拓撲排序; (2)變數: ltv表示某個事件的最晚開始時間; etv表示事件最早開始時間; ete表示活動最早開始時間; lte表示活動最晚開始時間;//O(n+e)
@Test
public void CriticalPath(){
Stack<Integer> stack = topological_etv();
int length = stack.size();
if(stack==null){
return ;
}
else{
int[]ltv = new int[length];
for(int i=0;i<stack.size();i++){
ltv[i] = etv[stack.size()-1];
}
//從拓撲排序的最後開始計算ltv
while(!stack.isEmpty()){
int top = stack.pop();
EdgeNode current = g.nodes[top].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
//最晚發生時間要取所有活動中最早的
if((ltv[idx]-current.weight)<ltv[top]){
ltv[top] = ltv[idx]-current.weight;
}
}
}
int ete = 0;
int lte = 0;
for(int j=0;j<length;j++){
EdgeNode current = g.nodes[j].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
ete = etv[j];
lte = ltv[idx]-current.weight;
if(ete==lte){
//是關鍵路徑
}
}
}
}
}
private Stack<Integer> topological_etv(){
Stack<Integer> stack2 = new Stack<Integer>();
Stack<Integer>stack1 = new Stack<Integer>();
for(int i=0;i<g.nodes.length;i++){
if(g.nodes[i].indegree==0){
stack1.add(i);
}
}
etv[] = new int[g.nodes.length];
int count = 0;
while(!stack1.isEmpty()){
int top = stack1.pop();
count++;
stack2.push(top);
EdgeNode current = g.nodes[top].next;
while(current!=null){
int idx = current.idx;
if((--g.nodes[idx].indegree)==0){
stack1.push(idx);
}
if((etv[top]+current.weight)>etv[idx]){
etv[idx] = etv[top]+current.weight;
}
current = current.next;
}
}
if(count<g.nodes.length){
return null;
}
return stack2;
}