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主題模型TopicModel:LDA中的數學模型

瞭解LDA需要明白如下數學原理:

一個函式:gamma函式

四個分佈:二項分佈、多項分佈、beta分佈、Dirichlet分佈

一個概念和一個理念:共軛先驗和貝葉斯框架

兩個模型:pLSA、LDA(文件-主題,主題-詞語)

一個取樣:Gibbs取樣

估計未知引數所採用的不同思想:頻率學派、貝葉斯學派

gamma函式

Gamma函式

Γ(x)=0tx1etdt
通過分部積分的方法,可以推匯出這個函式有如下的遞迴性質
Γ(x+1)=xΓ(x)
於是很容易證明,Γ(x) 函式可以當成是階乘在實數集上的延拓,具有如下性質
Γ(n)=(n1)!gamma函式是如何找到的:

1728年,哥德巴赫在考慮數列插值的問題,通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合,例如數列 1

,4,9,16, 可以用通項公式 n2 自然的表達,即便 n 為實數的時候,這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x2通過所有的整數點(n,n2),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,,我們可以計算2!,3!, 是否可以計算 2.5!呢?我們把最初的一些(n,n!)的點畫在座標軸上,確實可以看到,容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。

factorialfactorial-curve

但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題,於是寫信請教尼古拉斯.貝努利和他的弟弟丹尼爾.貝努利,由於尤拉當時和丹尼爾.貝努利在一塊,他也因此得知了這個問題。而尤拉於1729 年完美的解決了這個問題,由此導致了Γ

函式的誕生。
事實上首先解決n!的插值計算問題的是丹尼爾.貝努利,他發現,如果m,n都是正整數,如果m,有

123m(1+n)(2+n)(m1+n)(m+n2)n1n!
於是用這個無窮乘積的方式可以把n!的定義延拓到實數集合。例如,取n=2.5,m 足夠大,基於上式就可以近似計算出 2.5!

尤拉也偶然的發現 n! 可以用如下的一個無窮乘積表達

[(21)n1n+1][(32)n2n+2][(43)n3n+3]=n!()(1)

用極限形式,這個式子整理後可以寫為

limm123m(1+n)(2+n)(m+n)(m+1)n=n!()(2)
左邊可以整理為
===123
m
(1+n)(2+n)(m+n)
(m+1)n
123n(n+1)(n+2)m(1+n)(2+n)m(m+1)n(m+1)(m+2)(m+n)n!(m+1)n(m+1)(m+2)(m+n)n!k=1nm+1m+kn!(m)

所以 (*)、(**)式都成立。

尤拉開始嘗試從一些簡單的例子開始做一些計算,看看是否有規律可循,尤拉極其擅長數學的觀察與歸納。當 n=1/2 的時候,帶入(*)式計算,整理後可以得到

(12

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