導數與積分入門
阿新 • • 發佈:2019-01-05
感謝我的朋友清影。
//話說我一篇FFT的文章好像吸了不少粉絲QAQ
//這篇文章因為是總結+自己的理解,所以應該有很多錯誤
//不過話說這本來就算是我的個人空間又不是去寫教程的QAQ
基礎知識引入:
引入斜率的概念:
我想先說一下廣義的斜率:
斜率是某一段的傾斜程度,我們可以認為,陡峭的上坡路的斜率要大於平緩的上坡路。斜率可以為負數,負的斜率自然是下坡路。
定義一段函式的斜率的公式:
然而一段函式並不總是一條直線,所以:
把斜率推廣到點:
某個點的斜率公式:
你可以認為:
如果我們想知道曲線A上的某一點C的斜率,也就是該點的傾斜程度
此時,C的斜率和曲線A在C處的切線斜率相等。
斜率反映了變化程度。
比如說吧我們買股票,然後我們在曲線趨近平緩的時候買了許多,顯然是不賺的,我們如果在這個股票隱隱有飛速上漲的趨勢的時候購買,顯然是划算的。
嗯……所以有人說買漲不買跌嘛……
所以斜率這個東西還是挺有用的。
然而為了引入導數我們不僅要介紹斜率,還要介紹極限的概念。
定義極限:
這個式子表示的是當x無限趨近於a時,f(x)就無限趨近於b。
我們拿一個簡單的例子來說:
嗯……找到感覺了吧……?
拿幾道例題來說話吧。
Prog1.
這個就是說,x無限趨近於1時,1 - x無限趨近於多少呢?
我們其實可以帶入x = 1,這個顯然是0嘛。
Prog2.
嗯……這個好像不能帶入了……
但是我們仔細考慮以下,x**無限趨近**於1,並不代表x等於1,也就意味著:這個式子可以化簡為
無論接近到什麼程度,都不是相等的。
而接近的那個目標值,即f(x)的值,就是極值。
然而:
可以從兩個方向接近,可以從右到左,也可以從左到右。
Prog3.
這個式子……
如果我們從右到左,那麼寫作:
它接近的值是正無窮。
如果我們從左到右,那麼寫作:
它接近的值是負無窮。
也就是說,從兩個方向接近得到的結果不同。
這種情況是沒有極限的。
即
是沒有極限的。
Prog4.
那麼
答案是存在的,因為從兩邊逼近,都是正無窮大。
我們發現極限有三種模式:
1.
2.
3.
我們先來找函式f(x)上任意一點A的斜率,那麼我們找到了和A(a,f(a))點無限逼近的點B(a + h,f(a + h)),則有AB的斜率:
嗯……我們仔細想想點A的斜率等於什麼?
沒錯這就是點A的斜率公式……
那麼這個算式
然而A是任意一點。
所以,f(x)整個函式的求導公式為:
我們拿個栗子來說一下:
我們要計算y = x在點(1,1)的斜率。
嗯……可以在最後約掉h,因為h不會等於0。
這樣我們就學會導數了,它能夠求任意一個點的斜率。
我們可以考慮二次函式
->