最短路徑演算法(3)—Floyd(弗洛伊德)演算法
阿新 • • 發佈:2019-02-13
Floyd-Warshall演算法,簡稱Floyd演算法,用於求解任意兩點間的最短距離,時間複雜度為O(n^3)。
使用條件&範圍
通常可以在任何圖中使用,包括有向圖、帶負權邊的圖。
Floyd-Warshall 演算法用來找出每對點之間的最短距離。它需要用鄰接矩陣來儲存邊,這個演算法通過考慮最佳子路徑來得到最佳路徑。
1.注意單獨一條邊的路徑也不一定是最佳路徑。
2.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權,或者無窮大,如果兩點之間沒有邊相連。
對於每一對頂點 u 和 v,看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
3.不可思議的是,只要按排適當,就能得到結果。
虛擬碼:
// dist(i,j) 為從節點i到節點j的最短距離
For i←1 to n do
For j←1 to n do
dist(i,j) = weight(i,j)
For k←1 to n do // k為“媒介節點”
For i←1 to n do
For j←1 to n do
if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路徑?
dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)
我們平時所見的Floyd演算法的一般形式
void Floyd(){
int i,j,k;
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
}
注意下第6行這個地方,如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在,程式中用一個很大的數代替。最好寫成if(dist[i] [k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]動畫演示Floyd演算法】。
程式碼說明幾點:
1、A[][]陣列初始化為各頂點間的原本距離,最後儲存各頂點間的最短距離。
2、path[][]陣列儲存最短路徑,與當前迭代的次數有關。初始化都為-1,表示沒有中間頂點。在求A[i][j]過程中,path[i][j]存放從頂點vi到頂點vj的中間頂點編號不大於k的最短路徑上前一個結點的編號。在演算法結束時,由二維陣列path的值回溯,可以得到從頂點vi到頂點vj的最短路徑。
初始化A[][]陣列為如下,即有向圖的鄰接矩陣。
完整的實現程式碼如下:
#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define MaxVertexNum 100
#define INF 32767
typedef struct
{
char vertex[MaxVertexNum];
int edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
int n,e;
}MGraph;
void CreateMGraph(MGraph &G)
{
int i,j,k,p;
cout<<"請輸入頂點數和邊數:";
cin>>G.n>>G.e;
cout<<"請輸入頂點元素:";
for (i=0;i<G.n;i++)
{
cin>>G.vertex[i];
}
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
G.edges[i][j]=INF;
if (i==j)
{
G.edges[i][j]=0;
}
}
}
for (k=0;k<G.e;k++)
{
cout<<"請輸入第"<<k+1<<"條弧頭弧尾序號和相應的權值:";
cin>>i>>j>>p;
G.edges[i][j]=p;
}
}
void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n);
void Floyd(MGraph G)
{
int A[MaxVertexNum][MaxVertexNum],path[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
int i,j,k;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
A[i][j]=G.edges[i][j];
path[i][j]=-1;
}
}
for (k=0;k<G.n;k++)
{
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])
{
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
path[i][j]=k;
}
}
}
}
Dispath(A,path,G.n);
}
void Ppath(int path[][MaxVertexNum],int i,int j)
{
int k;
k=path[i][j];
if (k==-1)
{
return;
}
Ppath(path,i,k);
printf("%d,",k);
Ppath(path,k,j);
}
void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n)
{
int i,j;
for (i=0;i<n;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
if (A[i][j]==INF)
{
if (i!=j)
{
printf("從%d到%d沒有路徑\n",i,j);
}
}
else
{
printf(" 從%d到%d=>路徑長度:%d路徑:",i,j,A[i][j]);
printf("%d,",i);
Ppath(path,i,j);
printf("%d\n",j);
}
}
}
}
int main()
{
freopen("input2.txt", "r", stdin);
MGraph G;
CreateMGraph(G);
Floyd(G);
return 0;
}
測試結果如下:
本文主要來至網上資料各種雜糅: