1.棧與卡特蘭數的關係

棧是計算機中經典的資料結構，我們也會遇到一個常見的問題：一共有多少種合法的出棧順序？

先說一下什麼是合法的出棧序列， 凡是合法序列都遵循以下規律：即對於出棧序列中的每一個數字，在它後面的、比它小的所有數字，一定是按遞減順序排列的。
例如：有數字1 2 3 4 依次入棧，那麼他們的出棧順序中：

• 4321合法：4後面比它小的數是321，並且321遞減；3後面比它小的是21，並且21遞減。
• 3421合法：3後面比它小的是21，並且21遞減；4後面比它小的是21，並且21遞減。
• 1423不合法：4後面比它小的是23，23不是遞減。

所以到底有多少種合法序列呢？
答案就是：合法出棧數目==卡特蘭數

2.卡特蘭數

卡特蘭數又稱卡塔蘭數，卡特蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)的名字來命名。（卡特蘭數百度百科）
公式①：
$f（0）= 1，f（1）= 1$
$f（n）= \frac{C^{2n}_{n}}{n+1}= c^{2n}_n-c^{2n}_{n-1}　（n=0，1，2，……）$
公式②：
$h（0）= 1，h（1）= 1$

注意！！！
程式運算時使用第二種方法（第一種在n>15時就溢位了）

//方法一，m>15就溢位了
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int m;
 

	cin>>m;
	long long int result=1;
	for(int i=m+1;i<=m*2;i++)
	{
		result*=i;
	}
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		result/=i;
	}
	cout<<result/(m+1)<<endl;
	return 0;
}

//方法二
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,f[20]={0};
    cin>>n;
    f[0]=1;f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
       for(int j=0;j<i;j++)
          f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
          cout<<f[n];
    return 0;
}

3.擴充套件

知道數量也要知道數量是怎麼出來的——動態規劃

4.相關題目

題目描述：
棧是計算機中經典的資料結構，簡單的說，棧就是限制在一端進行插入刪除操作的線性表。棧有兩種最重要的操作，即pop（從棧頂彈出一個元素）和push（將一個元素進棧）。

棧的重要性不言自明，任何一門資料結構的課程都會介紹棧。寧寧同學在複習棧的基本概念時，想到了一個書上沒有講過的問題，而他自己無法給出答案，所以需要你的幫忙。
寧寧考慮的是這樣一個問題：一個運算元序列，從1，2，一直到n（圖示為1到3的情況），棧A的深度大於n。
現在可以進行兩種操作，

1. 將一個數，從運算元序列的頭端移到棧的頭端（對應資料結構棧的push操作）
2. 將一個數，從棧的頭端移到輸出序列的尾端（對應資料結構棧的pop操作）
   使用這兩種操作，由一個運算元序列就可以得到一系列的輸出序列，下圖所示為由1 2 3生成序列2 3 1的過程。（原始狀態如上圖所示)

你的程式將對給定的n，計算並輸出由運算元序列1，2，…，n經過操作可能得到的輸出序列的總數。

輸入： 輸入檔案只含一個整數n（1≤n≤18）
輸出： 輸出檔案只有一行，即可能輸出序列的總數目
樣例輸入：

3

樣例輸出：

5

答案：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,f[20]={0};
    cin>>n;
    f[0]=1;f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
       for(int j=0;j<i;j++)
          f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
          cout<<f[n];
    return 0;
}