關於卡特蘭數

   卡特蘭數是一種經典的組合數，經常出現在各種計算中，其前幾項為 : 
   1, 2, 5, 14, 42, 
   132, 429, 1430, 4862, 16796, 
   58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 
   35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 
   6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 
   4861946401452, ...

計算公式

卡特蘭數一般的計算公式：
另類遞推公式：C(n)=C(n-1)*((4*n-2)/(n+1));

一般性質

Cn的另一個表達形式為
所以，Cn是一個自然數，這一點在先前的通項公式中並不顯而易見。
這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。

卡塔蘭數滿足以下遞推關係

它也滿足

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增長為

它的含義是左式除以右式的商趨向於1當n → ∞。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）

所有的奇卡塔蘭數Cn都滿足n = 2^k − 1。
所有其他的卡塔蘭數都是偶數。

實際問題的解決

說了這麼多，那麼卡特蘭數在實際問題中的應用還是很廣泛的：

經典問題：

• 給出一個n，要求一個長度為2n的01序列，使得序列的任意字首中1的個數不少於0的個數，
  以下為長度為6的序列:
  111000 101100 101010 110010 110100
  證明：

  
  令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位，含n個1，n個0的二進位制數，
  滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數
  顯然含n個1，n個0的2n位二進位制數共有個，下面考慮不滿足要求的數目.
  考慮一個含n個1，n個0的2n位二進位制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），
  則後面的01排列中必有n-m個1和n-m-1個0
  將2m+2及其以後的部分0變成1，1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數
  反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）
  從而

• 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數:
  ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Cn表示有n+1個葉子的二叉樹的個數
  

• Cn表示所有不同構的含n個分枝結點的滿二叉樹的個數（一個有根二叉樹是滿的當且僅當每個結點都有兩個子樹或沒有子樹）

• Cn表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數
  一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右
  計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數（同問題1）：
  X代表“向右”，Y代表“向上”
  

• Cn表示通過連結頂點而將n + 2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數
  下圖中為n = 4的情況：
  

• Cn表示對{1, …, n}依序進出棧的置換個數
  一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, …, n),
  其中S(w)遞迴定義如下：令w = unv，其中n為w的最大元素，u和v為更短的數列
  再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S為所有含一個元素的數列的單位元。

• Cn表示集合{1, …, n}的不交叉劃分的個數. 其中每個段落的長度為2

• Cn表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數
  下圖為 n = 4的情況:
  

總結最典型的四類應用：

（實質上卻都一樣，無非是遞迴等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞迴式了）

1. 括號化問題。

   　　矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)

2. 出棧次序問題。
   　　一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
   　　
   　　類似：
   　　(1)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
   　　
   　　(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
   　　

3. 將多邊行劃分為三角形問題。
   　　將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
   　　
   　　類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
   　　
   　　類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
   　　
   4.給頂節點組成二叉樹的問題。
   　　給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
   　　先去一個點作為頂點,然後左邊依次可以取0至N-1個相對應的,右邊是N-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)（能構成h(N)個）