dp-整數劃分問題（理論分析）
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- 描述
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整數劃分是一個經典的問題。請寫一個程式,完成以下要求。
- 輸入
- 每組輸入是兩個整數n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
- 輸出
- 對於輸入的 n,k;
第一行： 將n劃分成若干正整數之和的劃分數。
第二行： 將n劃分成k個正整數之和的劃分數。
第三行： 將n劃分成最大數不超過k的劃分數。
第四行： 將n劃分成若干個 奇正整數之和的劃分數。
第五行： 將n劃分成若干不同整數之和的劃分數。
第六行： 列印一個空行 - 樣例輸入
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5 2
- 樣例輸出
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7 2 3 3 3
- 提示
- 樣例輸出提示:
1.將5劃分成若干正整數之和的劃分為： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.將5劃分成2個正整數之和的劃分為： 3+2, 4+1
3.將5劃分成最大數不超過2的劃分為： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.將5劃分成若干 奇正整數之和的劃分為： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.將5劃分成若干不同整數之和的劃分為： 5, 1+4, 2+3
本題使用動態規劃（Dynamic Programming）方法解決
一 求將n劃分為若干正整數之和的劃分數
1. 若劃分的多個整數可以相同
設dp[i][j]為將i劃分為不大於j的劃分數
(1) 當i<j 時，i不能劃分為大於i的數，所以dp[i][j]=dp[i][i]；
(2) 當i>j 時，可以根據劃分中是否含有j分為兩種情況。若劃分中含有j，劃分方案數為dp[i-j][j]；若劃分數中不含j，相當於將i劃分為不大於j-1的劃分數，為dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；
(3) 當i=j 時，若劃分中含有j只有一種情況，若劃分中不含j相當於將i劃分為不大於j-1的劃分數。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。
dp[n][n]
2. 若劃分的正整數必須不同
設dp[i][j]為將i劃分為不超過j的不同整數的劃分數
(1) 當i<j時，i不能劃分為大於i的數，所以dp[i][j]=dp[i][i]；
(2) 當i>j時，可以根據劃分中是否含有j分為兩種情況。若劃分中含有j，則其餘的劃分中最大隻能是j-1，方案數為dp[i-j][j-1]；若劃分中不含j，相當於將i劃分為不大於j-1的劃分數，為dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；
(3) 當i=j時，若劃分中含有j只有一種情況，若劃分中不含j相當於將i劃分為不大於j-1的劃分數。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]
dp[n][n]表示將n劃分為不同整數的劃分數，可以解決問題5.
二 將n劃分為k個整數的劃分數
設dp[i][j]為將i劃分為j個整數的劃分數。
(1) i<j為不可能出現的情況，dp[i][j]=0；
(2) 若i=j，有一種情況：i可以劃分為i個1之和，dp[i][j]=1；
(3) 若i>j，可以根據劃分數中是否含有1分為兩類：若劃分數中含有1，可以使用“截邊法”將j個劃分分別截去一個1，把問題轉化為i-j的j-1個劃分數，為dp[i-j][j-1]； 若劃分中不包含1，使用“截邊法”將j個劃分數的最下面一個數截去，將為題轉化為求i-j的j個劃分數，為dp[i-j][j]。所以i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。
dp[n][k]為將n劃分為k個整數的劃分數，可解決問題2。
三 將n劃分為若干正奇數之和的劃分數
設f[i][j]為將i劃分為j個奇數之和的劃分數，g[i][j]為將i劃分為j個偶數之和的劃分數。
使用截邊法，將g[i][j]的j個劃分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以
g[i][j] = f[i-j][j]。
f[i][j]中有包含1的劃分方案和不包含1的劃分方案。對於包含1的劃分方案，可以將1的劃分除去，轉化為“將i-1劃分為j-1個奇數之和的劃分數”，即f[i-1][j-1]；對於不包含1的劃分方案，可以使用截邊法對j個劃分每一個都去掉一個1，轉化為“將i-j劃分為j個偶數之和的劃分數”，即g[i-j][j]。
所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]為將n劃分為若干奇數的劃分數，為問題4的答案。
實現程式碼:
網上關於本題的實現程式碼都是C語言寫的, 而且有過多的計算. 本來根據使用者的輸入規模n, 直接計算n*n的矩陣就可以了, 但是網上的程式碼計算的是N*N, N是個預設的值, 而且比n大很多, 這樣就影響了程式的速度.