PageRank演算法理解
目錄
介紹
PageRank是關於網頁排序的演算法。
基本假設：一個重要的網頁會被較多的網頁引用；
\(PR(X)\)表示：在隨機選擇網頁時，選中網頁\(X\)的概率；即可以理解為網頁的重要性；
流程
初始化：一共\(N\)個網頁，每個網頁的初始值相等\(\frac{1}{N}\)。
在一輪迭代中，PR按連結(link)的出邊與入邊數目更新一次：
\[PR(p_i) = \sum_{p_j \in M(p_i)} \frac{PR (p_j)}{L(p_j)},\]
其中\(L(p_j)\)表示\(p_j\)的出邊數，\(M(p_i)\)
同時引入抑制因子\(d\)：使用者瀏覽當前頁面，
有大概率\(d\)按照規則繼續點擊出邊，這樣帶來的更新是：
\[d\sum_{p_j \in M(p_i)} \frac{PR (p_j)}{L(p_j)};\]
也有小概率\(1-d\)停止繼續點擊出邊，轉為隨機點選新的頁面，這樣帶來的更新是\(\frac{1-d}{N}\)（保證和為1）。
有一定小概率點選新的頁面，保證了：
- 使用者不會停在黑洞網頁（沒有出邊的網頁）；
- 同時也給沒有入邊的網頁生機；
完整的更新公式如下：
\[PR(p_i) = \frac{1-d}{N} + d \sum_{p_j \in M(p_i)} \frac{PR (p_j)}{L(p_j)}\]
矩陣化
令
\[ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} PR(p_1) \\ PR(p_2) \\ \vdots \\ PR(p_N) \end{bmatrix}, \]
代入上式，則有
\[ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} {(1-d)/ N} \\ {(1-d) / N} \\ \vdots \\ {(1-d) / N} \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} \ell(p_1,p_1) & \ell(p_1,p_2) & \cdots & \ell(p_1,p_N) \\ \ell(p_2,p_1) & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ell(p_i,p_j) & \\ \ell(p_N,p_1) & \cdots & & \ell(p_N,p_N) \end{bmatrix} \mathbf{R}, \]
再令
\[ M_{ij}=l(p_i, p_j)=\frac{\#e_{j \to i}}{\#e_{j \to all}}\\ \forall j, M_{.,j} = 1 \]
上式簡化為
\[ \begin{eqnarray} &\mathbf{R}& = d \mathcal{M}\mathbf{R}+\frac{1-d}{N} \mathbf{1} \tag{1}\\ &\mathbf{R}& = (d \mathcal{M} +\frac{1-d}{N} \mathbf{I})\mathbf{R} \tag{2} = \widehat{\mathcal{M}} \mathbf{R} \end{eqnarray} \]
求解
迭代法得數值解
由公式(1)和(2)均能得到迭代的解法，設定精度即可停止迭代；
\[|\mathbf{R}(t+1) - \mathbf{R}(t)| < \epsilon\]
由公式(2)可知，\(\mathbf{R}\)是矩陣\(\widehat{\mathcal{M}}\)的特徵向量。
代數法得解析解
由公式(1)可直接解得：
\[\mathbf{R} = (\mathbf{I}-d \mathcal{M})^{-1} \frac{1-d}{N} \mathbf{1}\]
其他
根據馬爾科夫鏈：
- 由於概率轉移矩陣的性質，公式(1)會收斂；
- \(\frac{1}{PR(X)}\)表示的是從網頁\(X\)出發回到\(X\)的期望點選數；