前言：
曾經有人問過學長，是不是概率期望基本上都是用來做dp的
學長：當然不是了
然而我覺得，有很大一部分的概率期望都是與dp有關的

離散概率初步

一個經典的例子就是拋硬幣：
連續拋3次硬幣，恰好有兩次正面的概率有多少：
拋3次硬幣，一共有8可能：HHH , HHT , HTH , HTT , THH ,THT , TTH ,TTT
這八種情況的概率是相等的
這裡的{HHH , HHT , HTH , HTT , THH ,THT , TTH ,TTT}用專業術語講就是樣本空間
“恰好有兩個正面”這個事件可以表示為：A={HHT , HTH , THH}
所以P(A)=3/8

接下來要說的就是一個經典問題：生日問題

一共有23個人，至少兩個人的生日相同的概率超過50%，為了簡單起見，每個人的生日都不是2月29日

實際上這個例子和拋硬幣有異曲同工之妙
每個人的生日是365天中等概率選擇的，因此樣本空間是|S|=365^23
接下來要計算“至少兩個人的生日相同”，這個不大好統計，所以我們遵循原則：

正難則反

先計算出任何兩個人的生日都不同，然後用總數減去就好了，於是有式子

在實際計算的時候，A(365,23)和365^23都是無法直接計算的
但是概率是一個不超過1的double，並且此處不需要太高的精度，所以我們直接計算：

double
 
 P(int n,int m)
{
    double ans=1.0;
    for (int i=0;i<m;i++) ans*=(n-i);
    return ans;
}

double birthday(int n,int m)
{
    double ans=P(n,m);
    for (int i=1;i<=m;i++) ans/=n;
    return 1-ans;
}

但是如果m太大，上面那個程式就會爆掉
我們的解決方法是邊乘邊除：

double birthday(int n,int m)
{
    double ans=1.0;
    for
 
 (int i=0;i<m;i++) ans*=(double)(n-i)/n;
    return 1-ans;
}

這就告訴我們一個很重要的道理：

和int，ll一樣，double型別也要時刻注意溢位

條件概率

公式：P(A|B)=P(AB)|P(B)
P(A|B)：在事件B發生的前提下，事件A發生的概率
P(AB)：事件A和B同時發生的概率

貝葉斯公式

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

這也是條件概率中很重要的一個公式

全概率公式

把樣本空間S分成若干個不想交的部分B1，B2，B3，…，Bn，
則P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+…+P(A|Bn)*P(Bn)
這裡的P(A|B)是指B事件發生的條件下，事件A發生的概率

其實ta的思想很簡單：
比如，參加NOI，得到金牌，銀牌，銅牌，當炮灰的概率分別是0.1,0.2,0.3,0.4，
在這種情況下，保送上清華的概率分別是1.0,0.8,0.5,0.1，
則被報送的總概率是0.1*1.0+0.2*0.8+0.3*0.5+0.4*0.1

使用全概率公式的關鍵就是劃分時間空間
只有把所有情況不重複，不遺漏的進行分類，
並計算出每個事件的概率，才能得出正確的答案

數學期望

簡單地說，隨機變數X的數學期望EX就是所有可能值按概率加權的和

比如一個隨機變數有1/2的概率等於1,1/3的概率等於2,1/6的概率等於3
那麼這個隨機變數的數學期望為
1/2*1+1/3*2+1/6*3
在非正式場合中，可以說這個隨機變數“在平均情況下的值”為1/2*1+1/3*2+1/6*3

在解決和數學期望相關的題目時，大多數是可以直接考慮定義法解決
求出各個取值和對應的概率
當然，如果是等概率事件（所有事件的概率完全相等）
我們可以用：
各個情況之和/總情況數量（相當於求一個平均值，不是一般的好用啊）

如果遇到困難，我們可以考慮一下兩個法寶：

• 期望的線性性質：
  有限個隨機變數之和的數學期望等於每個的數學期望之和
  即 E(X+Y)=EX+EY
• 全期望公式：
  類似全概率公式，把所有情況不重複，不遺漏的分成若干類，每個計算數學期望，
  最後把這些數學期望按照每類的概率加權求和

實際上，我們最常用的就是

全概率公式

把樣本空間S分成若干個不想交的部分B1，B2，B3，…，Bn，
則P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+…+P(A|Bn)*P(Bn)
這裡的P(A|B)是指B事件發生的條件下，事件A發生的概率

全期望公式

類似全概率公式，把所有情況不重複，不遺漏的分成若干類，每個計算數學期望，
最後把這些數學期望按照每類的概率加權求和