卡塔蘭數

卡塔蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。

卡塔蘭數的一般項公式為                       另類遞迴式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前幾項為 （OEIS中的數列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

性質

C_n的另一個表達形式為 所以，C_n是一個自然數；這一點在先前的通項公式中並不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。(見下文的第二個證明。)

卡塔蘭數滿足以下遞推關係

它也滿足

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增長為

它的含義是左式除以右式的商趨向於1當n → ∞。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）

所有的奇卡塔蘭數C_n都滿足n = 2^k − 1。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。

應用

組合數學中有非常多.的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用C

問題描述:
12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
這個筆試題，很YD，因為把某個遞推關係隱藏得很深。

其實這個排列方式跟下面的“合法的小括號表示式個數題目”類似，要求“每排必須是從矮到高排列”其實就是說是組合數，不是排列數，即不可以交換兩個數來說是這是兩種排列方式。參見卡特蘭數應用，轉換成01排列就容易理解了，把第二排查到對應的第一排人之後，就構成了一種排列。

• C_n表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:

• 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，C_n表示所有包含n組括號的合法運算式的個數:

• C_n表示有n+1個葉子的二叉樹的個數。

• C_n表示所有不同構的含n個分枝結點的滿二叉樹的個數。（一個有根二叉樹是滿的當且僅當每個結點都有兩個子樹或沒有子樹。）

證明：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進位制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進位制數共有個，下面考慮不滿足要求的數目.

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進位制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

從而。證畢。

• C_n表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數： X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n = 4的情況：
•                                                                         

• C_n表示通過連結頂點而將n + 2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數。下圖中為n = 4的情況：

• C_n表示對{1, ..., n}依序進出棧的置換個數。一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)遞迴定義如下：令w = unv，其中n為w的最大元素，u和v為更短的數列；再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S為所有含一個元素的數列的單位元。

• C_n表示集合{1, ..., n}的不交叉劃分的個數. 那麼, C_n 永遠不大於第n項貝爾數. C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉劃分的個數，其中每個段落的長度為2。綜合這兩個結論，可以用數學歸納法證明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.

• C_n表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為 n = 4的情況:

  

,)
       另類遞迴式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前幾項為 （OEIS中的數列A000108）: 

, 
應用

　　我總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞迴等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞迴式了）