點積與對偶性

一個向量點積一個unit vector等於這個向量在這個unit vector上投影的長度。

對與非單位向量點積一個向量，可以理解為上述情況再經過線性變換的結果。

兩個向量之間的點積等於（+/-）一個向量向另一個向量投影的長度*另一個向量的長度。

在這裡可以得出一個結論，任何時候一個線性變換，如果輸出空間是一維的數軸，不管這個變換是如何定義的，空間都會存在一個唯一的向量V與這個變換相關，做那個線性變換和做那個點積效果是一樣的。

在這裡 引入對偶的概念——兩種數學事物之間自然而又出乎意料的事情。

一個向量的對偶，是它定義的線性變換。

兩個向量點積就是將其中一個向量轉化為線性變換，這一過程可能有著重要的意義，因為一直都在和向量打交道，把向量看做某個線性變換的載體，可能更容易理解向量。

叉積的幾何意義

兩個二維向量的叉積大小等於（+/-）平行四邊形的面積，方向與平行四邊形垂直，基於右手定則可以判定方向。

• 定義如下三維到一維的線性變換，根據上一節的推論，一個線性變換和一個唯一的向量相關，即做這個線性變換和與那個對偶向量做點積效果是一樣的。

也就是上圖這種形式。

那麼什麼樣的P向量會滿足上圖等式呢？一種是從計算的角度出發，右邊計算出x,y,z的係數就是p1,p2,p3。

對於從幾何的角度，向量P和向量⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥點積等於⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥和V與W確定的平行六面體的體積。什麼樣的P滿足這樣的性質呢？

• 首先對於P點積⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥點積，幾何意義上是將⎡
  ⎣⎢xyz⎤⎦⎥投影到P上，將投影長度與P的長度相乘。
• 對於右邊的平行六面體，其體積等於V與W張成的平行四邊形的面積與⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥向垂直於V與W方向的分量相乘。
• 所以我們找到的線性函式對於給定向量⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥的作用就是將其投影到垂直於V和W的直線上然後將投影長度與V和W張成的平行四邊形的面積相乘，與垂直於V和W且長度為平行四邊形面積的向量與⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥點乘是一樣的。

從幾何角度，我們可以推出這個對偶向量必然與V和W垂直，並且其長度與這兩個向量張成的平行四邊形的面積相同。

基變換

首先思考一個問題，一個向量在不同的座標系中如何描述。

對於xy座標系，基向量分別是i-hat和j-hat，對於另一個Janiffer的座標系，基向量b1

但是從該座標系的角度看，這兩個向量的座標為（1,0）和（0,1），這兩個座標系相當於用的是不同的語言。這兩種座標系都有自己的表格，但是原點是相同的。

那麼在Janiffer的座標系中[−12]，在xy座標系中如何表示呢？可以由上圖的計算方式來計算，得到的答案為[−41]。這裡矩陣的列是用我們的語言表達的Janiffer的基向量。就是用我們的語言描述的Janiffer的基向量與Janiffer中的向量相乘，得到在xy座標系中的表示。

這裡可以用一種幾何方面的知識去表示，還是上述問題，可以先直接把[−12]當做我們想要求得的結果，但是這個很明顯是錯的，那麼可以對這個向量進行[21−11]變換得到她提到的真正向量，用我們的語言描述的她的基向量矩陣與。

相反，如果一個向量是在我們的座標系(xy)中描述的，如果要知道在Janiffer的座標系中如何描述得到話，那就可以通過[21−11]−1變換，將我們的語言轉化為Janiffer的語言。

我們可以用[01−10]來描述對空間進行90度的旋轉，如果用Janiffer的語言去描述90度的旋轉的話，我們需要將她的語言轉化成我們的語言，再進行旋轉，再轉化成她的語言。如下圖所示。

總的來說，每當我們遇到這樣一個式子A−1MA的時候，這就暗示著一種數學上的轉移作用，中間的矩陣代表著一種所見的變換，另外兩個矩陣代表著轉移作用，也就是視角(座標系\基)的變化，矩陣的乘積還是代表著同一種變換，只不過是從其他人的視角來看的。