這兩天學習狀態不佳,苦惱!~點積所發揮的作用只能夠從線性變換的角度去完成.

• 向量w,v的點積

1. 相當於向量w朝著過原點的向量v在直線上的投影,而後將投影的長度與向量v的長度相乘.
2. 向量方向相同時,點積為正;向量方向相反時,點積為負;當它們互相垂直時,一個向量在另一個向量上的投影為零向量.

• 點積與計算順序無關,對偶性

1. 點積相乘與計算順序無關,即互相投影不影響計算結果.
2. 原因在於:按照對稱性的角度出發,看兩個向量.無論誰映射向誰,當發生伸縮變換時,要麽投影改變伸縮大小比例,要麽被映射向量改變伸縮大小比例.

• 疑惑

1. 視頻看到這裏還是有些許疑惑,點積究竟如何表達映射的,在此聯想到之前的轉換線性變換
   .
2. 首先,矩陣相乘時,本質是發生線性翻轉,AB≠BA這是因為基向量的剪切旋轉先後順序不同,從而導致轉換空間不一致的問題.
3. 其次,為什麽點積會不發生問題呢,首先重要一點,這個線性變換只是兩個向量之間的問題,無論哪個向量映射到哪個向量,都會遵循對偶原則,對稱性使得結果值不發生改變
4. 問題是:如何表達成為被映射向量長度與映射向量投影的值呢?

• 答疑解惑

• 視頻作者說,還要從對偶性向深處挖掘
• 多維空間向一維空間的線性變換

1. 當擁有一系列等距分布於一條直線上面的點,然後引用變換.
2. 線性變換會保持這些點等距分布在輸出空間中,也就是數軸上.(等距分布的點,保持等距分布)
3. 線性變換完全由它對ihat和j
   hat的變換決定,只不過,這些基向量這次只落在一個數上.(暫時考慮為向量相加,但是方向不同是正負數關系,還是不太理解)
4. 將它們在變換後的位置記錄為矩陣的列時,矩陣的每列只是一個單獨的數(模模糊糊,有些感覺了,但是還是不夠強烈)

• 1×2矩陣與二維向量之間有著微妙的聯系

1. 將向量放倒,從而得到與之相關的矩陣/或者將矩陣立直,從而得到與之相關的向量.

• 視頻作者在賣關子了,從幾何角度會看到美妙的事情,究竟是什麽事情.

1. 將向量轉化為數的線性變換和這個向量本身有著某種關系.
2. 假設將被映射向量歸為uhat,一個過原點斜直方向處於二維坐標平面的軸.
3. ihat投影到uhat落在什麽位置,同樣對應uhat投影到i
   hat上對應什麽位置.
4. 因此ihat投影到uhat上對應什麽位置,對應於uhat映射到ihat上的對應位置,因此變換後的位置分別對應於uhat的u_x和u_y.也即橫縱坐標.
5. 在第4步驟中可以找到變換後的基向量,因此點積公式如上.

• 以上是任意向量和單位向量的點積,那麽擴展到任意向量和任意向量的點積呢?(毫無疑問,效果是一樣的,看來這裏腦子還是混沌為什麽會說出毫無疑問沒有思考的傻話呢?)

1. 彈幕區有人說,還是基向量的變換,換湯不換藥,這個觀點我贊同.
2. 無論何時,看到二維到一維的線性變換,無論其如何定義,空間中會存在唯一的向量v與之相關.
3. 一個向量的對偶是由它定義的線性變換
4. 一個多維空間到一維空間的線性變換的對偶是多維空間中的某個特定向量
5. 兩個向量點積相乘,就是將其中一個向量轉換為線性變換.

• 有趣的彈幕

1. 點積=數量積=內積
2. 叉積=向量積=外積=矢量積
3. 轉置是在矩陣中的運算,點積與其並不相同(這個,現在回想起來,可能還是有點分的太清反而不對的)
4. 兩個向量的乘積的規則是對應相乘,而矩陣與向量的乘積是轉置相乘,也就是可以吧第一個向量放倒形成一個矩陣和向量相乘.從而引出一個觀點1.為什麽向量放倒後(變成矩陣)與原運算結果相同?2.在幾何上如何解釋說明?3.放倒後的矩陣和原向量之間有什麽關系?解答(原彈幕者):向量點積背後隱藏了一個隱式的線性變換,實際上做的,還是矩陣的線性變換,把矩陣變化成向量,形式上從矩陣乘向量變成向量乘向量,並把新形式命名為點積.(看了彈幕者的回答,他的問題提出的非常好,回答就有些啰嗦了.實際上,並不贊同,將矩陣和向量混淆(可能是我自己理解有誤),其中的變換倒是更加願意接受為,利用對偶性質,潛在的找到了對應的基向量,完成了這些變換)
5. 補充說明,一個向量可以表示為一種變換,當它真正描述線性變換時,向量轉化成為矩陣.
6. 補充說明,點積中的其中一個向量可以看做是一個n維到1維的線性變換.

線性代數的本質-07-點積與對偶性