[min25篩學習小記]LOJ6053

min25篩

解決一類積性函式求字首和問題，主旨為模擬普通篩法過程。
假設我們要求 $\sum_{i = 1.. n} F (i)$ 。
一般來說，能做的題，F(p)可表示為p相關的多項式，其中p為質數，下面將以 $F (p) = p^{k}$ 為例。
也即統計 $\sum_{i} i^{k}$
為了方便做，我們先做出所有質數的f和。怎麼做呢？
設 $g (x, i) = \sum_{j = 2.. n} F (j) [j 为质数或不含小于等于 p_{i} 的质因子]$ 。
其中 $p_{i}$ 表示從小到大第i個質數。g的含義就是，你用帶log的篩法去做，現在暫時排除掉前i個質數的倍數的f和。
和原始篩法一樣，注意到，n以內的合數，必定存在 $\leq \sqrt{n}$

\leq \sqrt{n}

的質因子，那麼i最大取到根號的位置，這時就把所有質數的F和求出來了。
轉移：

g (x, i) = g (x, i - 1) - p_{i}^{k} (g (⌊ \frac{x}{p_{i}} ⌋, i - 1) - s u m [i - 1])

.
而如果

p_{i}^{2} > x

，後面部分可以略去。
其中sum[i]表示的是前i個質數的F和，這個可以預處理。
這個式子的含義是，在前i-1個質數篩去合數結果的基礎上，再用

p_{i}

篩，你把要篩的數除去

p_{i}

，顯然剩下不能有小於

p_{i}

的質因子。g狀態比較多，用遞推會比較快。

再考慮怎麼把所有的數都算上。
設 $S (x, i) = \sum_{j = 2.. n} F (i) [j 的最小质因子大于等于 p_{i}]$

S (x, i) = \sum_{j = 2.. n} F (i) [j 的 最 小 質 因 子 大 於 等 於 p_{i}]

和g相反，我們要從大的i推到小的i。
質數部分，由g求出來。對於合數，列舉每個數的最小質因子及其次冪來轉移：

S (x, i) = (g (x, m x) - s u m [i - 1]) + \sum_{p_{j} \geq p_{i}} \sum_{e = 1.. l o g_{p_{j}} x} F (p_{j}^{k}) S (⌊ \frac{x}{p_{j}^{e}} ⌋, j + 1) + F (p_{j}^{k + 1})

mx為能取到的最大的質數。
然後玄學地，S直接轉移不用記憶化，跑得非常快，1s可以過1e10的n；而g則需要遞推來寫，而不是雜湊，才能過1e10。

LOJ6053

考慮直接套公式即可。

程式碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
const int N=2e5+5,M=1e6+5,mo=1e9+7;
ll pd[M],pri[M],spr[M],sprf[M];
ll val[N],g0[N],g1[N],id[2][N],pt,sn,n,nn,tt,i,j,v,upb,kan;
void predo(ll n)
{
    ll i,j,t;
    fo(i,2,n)
    {
        if (!pd[i])
            pri[++pri[0]]=i;
        fo(j,1,pri[0])
        {
            if (1ll*i*pri[j]>n) break;
            t=i*pri[j];
            pd[t]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    fo(i,1,pri[0]) spr[i]=(spr[i-1]+pri[i])%mo;
    fo(i,1,pri[0]) sprf[i]=(sprf[i-1]+pri[i]+((i==1)?1:-1))%mo;
}
void sieve_g()
{
    sn=trunc(sqrt(n));
    tt=0;
    i=1;
    while (i<=n)
    {
        v=n/i;
        j=n/v;
        g0[++tt]=(v-1)%mo;
        g1[tt]=(v%mo*(v%mo+1ll)/2ll-1ll)%mo;
        val[tt]=v;
        if (v<=sn) id[0][v]=tt;else id[1][i]=tt;
        i=j+1;
    }
    fo(upb,1,pri[0]) if (!(n/pri[upb]/pri[upb])) break;
    upb--;
    fo(j,1,upb)
    {
        while (tt&&!(val[tt]/pri[j]/pri[j])) tt--;
        fo(i,1,tt)
        {
            pt=val[i]/pri[j];
            if (pt<=sn) pt=id[0][pt];else pt=id[1][n/pt];
            g0[i]=(g0[i]-g0[pt]+(j-1))%mo;
            g1[i]=(g1[i]-(g1[pt]-spr[j-1])*pri[j])%mo;
        }
    }
}
ll S(ll n,ll x)
{
    if (n<pri[x]||n<=1) return 0;
    if (n<=sn) pt=id[0][n];else pt=id[1][nn/n];
    ll ret=(g1[pt]-g0[pt]+2-sprf[x-1])%mo,prod;
    ll i,k;
    fo(i,x,pri[
              
           
              
              
            
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解決一類積性函式求字首和問題，主旨為模擬普通篩法過程。 
假設我們要求∑i=1..nF(i)∑i=1..nF(i)。 
一般來說，能做的題，F(p)可表示為p相關的多項式，其中p為質數，下面將以F(p)=pkF(p)=pk為例。 
也即統計∑ii 

  
 

    

    
    min_25篩 學習小記
       
 
  
  
 終於在9102年之前搞完了這個東西。。 
 關於min_25篩，一種常數和寫法優於洲閣篩的神奇篩法，複雜度大概是
     
      
       
        
         O
        
        
         
          (
       

  
 

    

    
    min_25篩學習小記
      
							
							
							終於在考試中碰到了一題不能用杜教篩的函式，被迫來學這個。。。



概述



首先這個函式f(x)f(x)要求是積性函式，而且f(p)f(p)和f(pc)f(pc)都要很好計算，設一個“假的”f′(x)f′(x)表示把xx直接當成質數時的f(x)f(x)，f′ 

  
 

    

    
    「學習筆記」Min25篩
       
  
  
 前言 
 
     
      
       
        
         M
        
        
         i
        
        
         n
        
        
         25
        
   

  
 

    

    
    yarn 學習 小記
      webp   清除   style   conf   comm   project   yarn   info   lin   官網：https://yarnpkg.com/zh-Hans/docs/installing-dependencies
簡介：包管理工具，和npm類似主要特點：快速、安全、可靠　　快 

  
 

    

    
    selenium學習小記
      statement   from   都沒有   mat   load   發現   runtest   打開   stat   selenium用於頁面自動化測試，其簡介雲雲這裏不再粘來粘去的贅述，浪費時間。下面說說自己遇到的一點小問題，及其處理方法。
一：selenium安裝
　　安裝方法，百度一下，相比 

  
 

    

    
    學習小記：JS判斷時特殊值與boolean類型的轉換
      ring   something   mbo   true   mage   js框架   temp   some   .info   扒開JQuery以及其他一些JS框架源碼，常常能看到下面這樣的判斷，
寫慣了C#高級語言語法的我，一直以來沒能系統的理解透這段代碼。

var test;
 //do 

  
 

    

    
    Python學習小記
      hang   class   字典   code   col   shang   alice   hone   sha   字典：
1.

 1 people = {
 2     ‘Alice‘:{
 3         ‘phone‘: ‘111‘,
 4         ‘addr‘: ‘shangha 

  
 

    

    
    二維最小乘積生成樹學習小記
      轉化   div   求解   idt   pla   學習   right   log   inf   Preface
　　對於形如給定一些邊，其邊權為xi和yi，構造一個生成樹，使得

　　我們稱這棵樹，為最小乘積生成樹。我們可以考慮，沿用最小生成樹的思想，把這種新穎的最小生成樹做對。
Conte 

  
 

    

    
    枚舉enum學習小記
      AI   兩個   有關   pri   AC   聲明變量   文件   參數   lis   參考文獻:
[1]C++程序設計語言(特別版), 裘宗燕譯, 機械工業出版社
[2]C++ Primer (3rd Ed.), S.B. Lippman and J. Lajoie, 人民郵電出版社
 
1、枚舉 

  
 

    

    
    【2018/04/02】學習小記
      webp   style   pac   error   進度條   成功   .config   lB   lba   復習了webpack的一些基礎~
--progress 帶進度條
--watch 使用緩存
--colors 醒目標記
node_modules本地最好自己有一份(～￣(OO)￣)ブ，要不 

  
 

    

    
    胡小兔的杜教篩學習筆記
      求解   init   了解   define   esp   spa   warning   它的   prime   好久沒寫數論題，今天在51nod抓了一道，發現自己早就把杜教篩忘得一幹二凈啦~ 所以今天我把杜教篩學習筆記整理一下，防止以後再次忘記 =v=
[Warning] 杜教篩復雜度證明我暫時還不 

  
 

    

    
    無監督學習小記（參考）
      廣泛   個數   就是   sca   協方差矩陣   ear   元素   約束   方法   下面淩亂的小記一下無監督學習
無監督學習->聚類 降維
聚類：數據相似性
相似性的評估：兩個數據樣本間的距離
距離：歐氏距離 曼哈頓距離 馬氏距離 夾角余弦
sklearn 聚類算法 sklearn.cl 

  
 

    

    
    java集合類學習小記
      lse   實例   hash   如果   集合   常用   遍歷   保存   bject   【List接口】：可變數組，允許保存所有類型元素，包括null，元素可重復，按添加順序保存【常用實現類】：建議用ArrayListArrayList：索引訪問速度快（但插入和刪除節點較慢）LinkedList 

  
 

    

    
    啟發式合並（堆、set、splay、treap）/線段樹合並學習小記
      排序   需要   操作數   所有   class   兩個   因此   ext   pan   啟發式合並

剛聽到這個東西的時候，我是相當蒙圈的。特別是“啟發式”這三個字莫名的裝逼，因此之前一直沒有學。
實際上，這個東西就是一個SB貪心。
以堆為例，若我們要合並兩個堆a、b，我們有一種極其簡單的做法： 

  
 

    

    
    BTM學習小記
      color   lda   col   src   ram   pen   估計   param   sel   BTM的原理跟LDA很像，下面是該模型的概率圖：

由該圖可以看出來，與LDA的區別在於確定主題分布和詞分布後相應地取兩個詞（而LDA只取一個，即類比常見的骰子說法：先投擲K面的骰子得到主題z，再 

  
 

    

    
    es學習小記
       
 
 在學習es的過程中留下腳印方便之後複習 
 學習地址http://lib.csdn.net/wojiushiwo987/structure/deep_elasticsearch/node/17523615 
 十大恨招：https://blog.csdn.net/laoyang360/article 

  
 

    

    
    Python學習小記(1)
      1.import問題 
 
 λ tree /F
卷 Programs 的資料夾 PATH 列表
卷序列號為 BC56-3256
D:.
│  fibo.py
│
├─fibo
│  │  __init__.py
│  │
│  └─__pycache__
│          __init__.cpytho 

  
 

    

    
    Python學習小記(2)---[list, iterator, and, or, zip, dict.keys]
      1.List行為 
 
 可以用 alist[:] 相當於 alist.copy() ，可以建立一個 alist 的 shallo copy，但是直接對 alist[:] 操作卻會直接操作 alist 物件 
 

  
 

    

    
    Python學習小記(3)---scope&namespace
      def   strong   pam   ner   fine   影響   global   可見   Matter   
首先，函數裏面是可以訪問外部變量的

 

#scope.py
def scope_test():
        spam = ‘scope_test spam‘
        d