終於在考試中碰到了一題不能用杜教篩的函式，被迫來學這個。。。

概述

首先這個函式f(x)$f(x)$要求是積性函式，而且f(p)$f(p)$和f(pc)$f(p^c)$都要很好計算，設一個“假的”f′(x)$f^{\prime }(x)$表示把x$x$直接當成質數時的f(x)$f(x)$，f′(x)$f^{\prime }(x)$是（或者能拆成）完全積性函式（比如說簡單多項式），且∑ni=1f′(x)$\sum _{i=1}^n{f}^{\prime }(x)$要很好算。
min_25篩的過程有用到埃氏篩法（就是每次選一個質數篩掉其倍數的篩法）的思想，我們先把所有數當成質數，得到∑ni=1f′(x)$\sum _{i=1}^n{f}^{\prime }(x)$，然後不斷地篩得到∑ni=1[i∈P]f′(x)$\sum _{i=1}^n[i\in P]$

f′(x)也就是∑ni=1[i∈P]f(x)$\sum _{i=1}^n[i\in P]f(x)$。得到這個所有質數函式值之和後，我們用類似的方法倒著推回去，得到真的函式值∑ni=1f(x)$\sum _{i=1}^{n}f(x)$。

篩質數的函式值

設質數集合P={p1,p2,...,pt}$P=\{p_1,p_2,...,p_t\}$，p2t≤n$p_t^2\le n$，minp(x)$minp(x)$ 表示x$x$的最小素因子。
設g(m,j)=∑mi=1[i∈P∨minp(i)>pj]f′(i)$g(m,j)=\sum _{i=1}^m[i\in P\vee minp(i)>p_j]f^{\prime }(i)$，顯然對於p2j>m$p_j^2>m$的j$j$，g(m,j)$g(m,j)$都是相同的，只關心

p2j≤m$p_j^2\le m$的情況。
我們現在知道g(m,0)$g(m,0)$，要求g(m,t)$g(m,t)$。不難推出轉移：

g(m,j)=g(m,j−1)−f′(pj)⋅(g(⌊mpj⌋,j−1)−g(pj−1,j−1))$$g(m,j)=g(m,j-1)-f^{\prime }(p_j)\cdot (g(\lfloor \frac{m}{p_j}\rfloor ,j-1)-g(p_{j-1},j-1))$$
其中−g(pj−1,j−1)$-g(p_{j-1},j-1)$就是