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瑞利熵與拉普拉斯矩陣

瑞利熵

瑞利熵

R ( M , x ) = x
M x x x

  此處的

x 是一個向量,矩陣 M 是一個Hermitian矩陣,即該矩陣共軛對稱, M i
j = M j i
,如果 M 是一個實矩陣,則有 M T = M

  瑞利熵的特點是:最大值和最小值分別等於矩陣 M 最大和最小的特徵值。

λ m i n x M x x x λ m a x

可以用拉格朗日乘子法證明:

max R ( M , x ) = max x M x s . t . x x = c

J ( x ) = x M x λ ( x x c ) J ( x ) x = 0 M x = λ x R ( M , x ) = λ

從上面的證明可以看出:

  1. R ( M , x ) = λ ,瑞利熵的值就是M的特徵值,最值一致
  2. x 的解正是 R ( M , x ) 所對應的關於 M 的特徵向量

廣義瑞利熵

R ( M , N , x ) = x M x x N x

y = N 1 / 2 x

x M x = y ( N 1 / 2 ) M N 1 / 2 y x N x = y ( N 1 / 2 ) N N 1 / 2 y = y y

R ( M , N , y ) = y N 1 / 2 M N 1 / 2 y y y

根據瑞利熵的性質, R ( M , N , y ) 實際上是矩陣