胡來的題目。

【題目描述】

給出一個正整數aa，要求分解成若干個正整數的乘積，即a=a1×a2×a3×...×ana=a1×a2×a3×...×an，並且1<a1≤a2≤a3≤...≤an1<a1≤a2≤a3≤...≤an，問這樣的分解的種數有多少。注意到a=aa=a也是一種分解。

【輸入】

第1行是測試資料的組數nn，後面跟著nn行輸入。每組測試資料佔11行，包括一個正整數a(1<a<32768)a(1<a<32768)。

【輸出】

nn行，每行輸出對應一個輸入。輸出應是一個正整數，指明滿足要求的分解的種數。

【輸入樣例】

2
2
20

【輸出樣例】

1
4

 說實話，剛開始刷遞迴的題心裡還真沒譜，都不知如何下手，遇到題，當然主要是思路不清晰，陸續看了些動規遞推遞迴的帖子，稍微有點數，但做到這題還是有點蒙，看了好一會答案的程式碼才稍微有點感覺。

下面是算個人對遞迴的總結吧，初入，比較淺，可以直接跳到程式碼後面開始對問題分析。

這題是我幾天前做的，現在來寫當時的疑惑可能記不太輕，這裡總結下我對遞迴的看法吧，遞迴的思想在於對待問題，是一種自頂向下的解決思路，（也就是從f(n)來考慮問題然後往f(n-1)或者f(x)（x為每次遞迴需要求的值）去呼叫），與遞推，動規相似都是將大問題，化成統一的子問題的解題模式去求解。

基於遞迴的特性（自己呼叫自己），我們在寫遞迴時需注意要有推動/呼叫本身的函式（類似f(n-1))的存在的同時，（當然不可以含f(n)本身，這樣就會無限呼叫下去）需有若干個臨界條件。(這些要點彷彿很簡單，但對於剛開始用遞迴來寫解決問題的我時，就會忘，所以只有摔過跟頭了，才能更加對問題對方法有更深刻的理解。)還有一點就是，得想清楚你所寫的遞迴函式的作用，他是求什麼，什麼作用，返回值還是，直接輸出。

關於上面遞迴函式中包含呼叫f(n)函式相同引數相同這樣的情況，之所以會犯這樣的錯，主要還是，對思想的表述有問題，一般呼叫f(n)，類似Fibonacci,f(n)=f(n-1)+f(n-2)這樣的表達都是想將結果的答案賦給一個值然後return出去，(這裡看來就很矛盾，當時確實思路很不清晰啊），正確的做法直接return 出表示式的結果，或者返回內部宣告的變數。(想想為什麼不是全域性的？————全域性的變數的值會在每次遞迴呼叫時發生改變，這樣多次呼叫全域性變數的值會混。而區域性變數的話，每次呼叫後，其值會隨著函式壓進函式棧中(是這樣表達嗎，第一次這樣表達有點彆扭）。

#include<iostream>
using namespace std;
int a;

int f(int m, int n) {
	for(int i = m; i <= n / i; ++i)
		if(n % i == 0){
			a++; 
			f(i, n/i);	
		}
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--){
		a = 1;
		int x;
		cin >> x;
		f(2, x);
		cout << a << endl;
	}
}
 

開始想這道題時，想著是類似i = i~an, 通過i *f(j) == an,然後將所有f(j)的數量來總和，寫完程式碼後發現可能碰巧對了樣例，但怎麼改發現於正解不符（所有我們始終需保持對自己寫的學的東西負責和持懷疑的態度）。後來看了正解，發現，方法就已經錯了。

正確方法應該是：i = 2~an,通過an%i ==0來判斷i是不是an的因數，如果是，則由an/i作為引數進一步帶入函式來判斷直至an/i == i，(此時i為最後一個因數)。首先需知道f(m,n)的含義——求n中從m開始到n/m所有分解種數的和。而為什麼每次只要滿足上面的條件就算加一種情況呢？這不妨舉個例子當n = 100時，2、50算一種情況，而50可以繼續分為2、25，這就有了2、2、25，再繼續分，且每次分都能成為其一種分解情況所以a++。

下面另一種寫法，區別在於分解次數加一是在每種分解情況完成時進行的，加的順序是從分解到的最小因子開始加起，如對n = 100時一次呼叫f(2, 50) ,然後f(2, 25) ，f(2, 5), f(5, 5) （每次呼叫到f(x, x)，相當於一種情況，後面變成f(x,1)然後直接a++)則先是遞迴到2 2 5 5 a++ 後，回溯到f(2, 25), 再是f(25, 25)時相當於2 2 25的情況然後a++ ，然後在回溯到f(2, 50) , f(50, 50)，a++,這樣對i ~ n/i中的分解情況累加。

再對for迴圈中的迴圈條件進行分析，他不會出現對兩個相同情況2 50 和 50 2重複a++， 當i = 50 時，呼叫f(50,2) (f(50, 100/2))時會直接不滿足條件而退出。而還要設i<=n， 是為了保證在回溯過程中將f(25, 25) 這樣的情況給加上。

而這種情況實現方法像上面提到的雖然不計算重複情況，但還是會執行判斷，會更耗時。

#include<iostream>
using namespace std;
int a;

void f(int m, int n) {
    if(n == 1) {
        a++;
        return ;
    }
	else for(int i = m; i <= n; ++i)
		if(n % i == 0){
			f(i, n/i);	
		}
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--){
		a = 0;
		int x;
		cin >> x;
		f(2, x);
		cout << a << endl;
	}
}

 而下面這種實現更是遞迴最典型的用法，是自頂向下的遞迴實現思路。從x開始向1遞迴，對1到x的每位進行判斷（是否是其最大因子）累加次數的同時，加上下次遞迴的f(a, b-1)的情況，f(a, b)中若a%b == 0 則，進一步遞迴分解。否者對b-1進行判斷。b減到1時結束返回0（可以想象一個質數只有第一次加一，後面b一直在減一，直到b == 1則返回0），而被分解的數a等於1，意味著上次呼叫時的因數剛好將其整除盡，算作一種情況返回1。

#include<iostream>
using namespace std;

int count(int a, int b) {
	if(a == 1)//when a == b then a/b == 1 then sum++
		return 1;
	if(b == 1)//border
		return 0;
	if(a % b == 0)
		return count(a/b, b) + count(a, b-1);//use f(a,b-1) to get cycle from n-1 to 2
	else
		count(a, b-1);
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--) {
		int x;
		cin >> x;
		cout << count(x, x) << endl;
	}
}