一、線性迴歸

線性迴歸一般用來做連續值的預測，預測的結果為一個連續值。因訓練時學習樣本不僅要提供學習的特徵向量X，而且還要提供樣本的實際結果（標記label），所以它是一種有監督學習。其中 X={x0,x1,...,xn}。

線性迴歸需要學習得到的是一個對映關係 f：X→y，即當給定新的待預測樣本時，我們可以通過這個對映關係得到一個測試樣本 X 的預測值 y 。

線上性迴歸中，假定輸入X和輸出y之間具有線性相關的關係。
例如當特徵向量 X 中只有一個特徵時，需要學習到的函式應該是一個一元線性函式 y=a+bx。

當情況複雜時，考慮 X 存在n個特徵的情形下，我們往往需要得到更多地係數。我們將 X

到 y 的對映函式記作函式hθ(X)：

hθ(X)=∑i=0nθixi=θTX

其中，為了在對映函式hΘ(X)中保留常數項，令 x0 為1，所以特徵向量X={1,x1,x2,...,xn}，特徵係數向量 θ={θ0,θ1,θ2,...,θn} 。

當給定一個訓練集資料的情況，可以通過某個演算法，學習出來一個線性的對映函式 hθ(X) 來求得預測值 y。

二、損失函式

在需要通過學習得到的對映函式 hθ(X) 中，需要通過訓練集得到特徵係數向量 θ={θ0,θ1,θ2,...,θn} 。

那怎麼得到所需的特徵係數向量？怎麼保證得到的特徵係數向量是足夠好？這裡會有一個評判標準：損失函式。

根據特徵向量係數 θ，可有損失函式 J(θ) 如下 :

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(X(i))−y(i))2

其中 hθ(X) 為需要學習到的函式，m 為訓練集樣本的個數，Xi 表示訓練集中第 i 個樣本的特徵向量，yi 表示第 i 個樣本中的標籤。

為了得到預測值 hθ(Xi) 和 yi 的絕對值，在公式上使用了平方數。為了平均每個樣本的損失，在公式上對損失和進行除以 m 操作，，再除以 2 是為了之後的求導計算。

三、梯度下降演算法求解

批量隨機梯度下降BGD

在上面，找到了一個特徵係數向量 θ 好壞的損失函式 J(θ)。為了迎合這樣的評判標準得到較好的 θ

，需對損失函式值進行最小化，即讓損失函式在樣本中的損失最小。

對於損失函式 J(θ)，可以發現 θ 是一個關於 \theta 的凸函式。

梯度下降就是一個不斷地最小化損失函式的過程。從影象上來看，先初始化 θi 為某個值，然後讓 θi 沿著J J(θ) 在 θi 的偏導方向不斷地走，直達走到底部收斂為止，最後就可以得到 J(θ) 最小時的那個 θi 的值。

這個不斷迭代的過程猶如一個不斷下山的過程，我們可以得到圖中關於 θi 的迭代函式，其中 α 為每次下山的步長。

當 θi 小於最低處的值的時，對其的偏導為負，在迭代過程中， θi 不斷地增大以逼近最低處的值；當 θi 大於最低處的值時，對其的偏導為正， θi 會不斷地做減法以逼近最低處的值。所以當步長 α 較小時， θi 會收斂於最低處的值。通常，我們將

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