本節開始，我們一起來學習線性代數的有關知識，首節我們從解方程談起，學習線性代數的應用之一就是求解複雜方程問題，本節核心之一即為從行影象與列影象的角度解方程。

2.1 二維的行影象

我們首先通過一個例子來從行影象角度求解方程：

我們首先按行將方程寫為矩陣形式：

係數矩陣(A)：將方程係數按行提取出來，構成一個矩陣。

未知向量(x)：將方程未知數提取出來，按列構成一個向量。

向量(b)：將等號右側結果按列提取，構成一個向量。

接下來我們通過行影象來求解這個方程：

所謂行影象，就是在係數矩陣上，一次取一行構成方程，在座標系上作圖。和我們在初等數學中學習的作圖求解方程的過程無異。

2.2 二維的列影象

接下來我們使用列影象求解此方程：

即尋找合適的 x，y 使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)得到最終的向量(0,3)。很明顯能看出來，1 倍(2,-1) + 2 倍(-1,2)即滿足條件。

反映在影象上，明顯結果正確。

3.1 高維行影象 

如果繪製行影象，很明顯這是一個三個平面相交得到一點，我們想直接看出這個點的性質可謂是難上加難。

比較靠譜的思路是先聯立其中兩個平面，使其相 交於一條直線，在研究這條直線與平面相交於哪個點，最後得到點座標即為方程 的解。

這個求解過程對於三維來說或許還算合理，那四維呢？五維甚至更高維數呢？直觀上很難直接繪製更高維數的影象，這種行影象受到的限制也越來越多。

3.2 高維列影象 

左側是線性組合，右側是合適的線性組合組成的結果，這樣一來思路就清晰多了，“尋找線性組合”成為了解題關鍵。

很明顯這道題是一個特例，我們只需要取 x = 0，y = 0，z = 1。就得到了結果，這在行影象之中並不明顯。

當然，之所以我們更推薦使用列影象求解方程， 是因為這是一種更系統的求解方法，即尋找線性組合，而不用繪製每個行方程的影象之後尋找那個很難看出來的點。

另外一個優勢在於，如果我們改變最後的結果 b，例如本題中，

那麼我們 2 −1 1 0 −3 4 −3 就重新尋找一個線性組合就夠了，但是如果我們使用的是行影象呢？那意味著我 們要完全重畫三個平面圖像，就簡便性來講，兩種方法高下立判。

另外，還要注意的一點是對任意的 b 是不是都能求解 Ax = b 這個矩陣方程呢？ 也就是對 3*3 的係數矩陣 A，其列的線性組合是不是都可以覆蓋整個三維空間呢？

 對於我們舉的這個例子來說，一定可以，還有我們上面 2*2 的那個例子，也可以 覆蓋整個平面，但是有一些矩陣就是不行的。

比如三個列向量本身就構成了一個 平面，那麼這樣的三個向量組合成的向量只能活動在這個平面上，肯定無法覆蓋 2 −1 1 一個三維空間，

這三個向量就構成了一個平面。

3.3 矩陣乘法

希望對大家有幫助~