網格

題目描述

某城市的街道呈網格狀，左下角座標為A$A$(0$0$,0$0$)，右上角座標為B$B$(n$n$,m$m$)，其中n$n$>=m$m$。現在從A$A$(0$0$,0$0$)點出發，只能沿著街道向正右方或者正上方行走，且不能經過圖示中直線左上方的點，即任何途徑的點(x$x$,y$y$)都要滿足x$x$>=y$y$，請問在這些前提下，到達B$B$(n$n$,m$m$)有多少種走法。

樣例輸入

6$6$ 3$3$

樣例輸出

132$132$

資料範圍

100$100$%的資料中，1$1$ <= m$m$ <= n$n$ <= 5000$5000$

題解

關於這種不能穿過某條直線的網格行走問題，先講一下怎麼做。
我們知道，答案就等於走到點(n$n$,m

$m$)的所有路徑數量減去穿過這條直線的路徑數量。
我們還知道由點(0$0$,0)$0)$走到點(n$n$,m$m$)的路徑數為Cn(m)n+m$C_{n+m}^{n(m)}$。

所以我們現在只需求得穿過這條直線的路徑數量就可以知道答案了。
對於一個如下的網格，有這樣的一條違法路徑穿過了y$y$=x$x$這條直線。

易得，不能穿過y$y$=x$x$這條直線就等於不能碰到y$y$=x$x$+1$1$，所以我們找到y$y$=x$x$+1$1$這條直線（圖中為棕色直線），並將原路徑沿這條直線對稱過去（除了最下面的一段，圖中為橙色），可以得到下圖

像這樣，路徑中點A$A$(n$n$,m$m$)會對稱到點B$B$(m$m$-1$1$,n$n$+1$1$)，並且從原點走到對稱點B(m-1,n+1)的一條路徑都可以對稱回來，並對應著一條從原點走到終點

A$A$(n$n$,m$m$)且穿過y$y$=x$x$直線的路徑。

所以穿過直線y$y$=x$x$的路徑數就對於從原點走到對稱點的路徑數。
走到對稱點B$B$(m$m$-1$1$,n$n$+1$1$)的路徑數SB$S_B$=Cm−1n+1+m−1$C_{n+1+m-1}^{m-1}$=Cm−1n+m$C_{n+m}^{m-1}$
走到原終點A(n,m)的路徑數

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