圖形B=B≌B凸顯中學數學有一系列重大錯誤——讓5000年都無人能識的自然數一下子浮出水面
圖形B=B≌B凸顯中學數學有一系列重大錯誤
——讓5000年都無人能識的自然數一下子浮出水面
黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區9-303 郵編510631）
[摘要]初等幾何最最起碼常識e：有界圖形B=B≌B。初等幾何有史2300多年來一直認定:至少有兩個公共點的直線必重合（從而有初中的直線公(定)理），兩等長閉直線段必可通過移動而重合即等長直線段必≌。此2300多年初等幾何“最起碼常識”被常識e推翻從而讓3千年都無人能識的偽二重直線段⊂相應直線一下子浮出水面。“配對”常識推翻百年集論使5千年都無人能識的自然數和2500年都無人能識的R最小正數元⊕（人類認識分數後的2500多年裡一直不知存在⊕）和R最大元以及它們的倒數一下子浮出水面。不識這類“更無理”的數和直線段使初等數學有一系列重大錯誤從而使300年微積分一直存在尖銳自相矛盾。證明了作為“實無窮”點集的“直線”其實是無窮長直線段從而使其伸長（收縮）變換前後有不同的長短。
[關鍵詞]N最大元; R有最小、大正數元；“配對”常識推翻百年集論和百年自然數公理；推翻直線公（定）理；推翻“R軸各點與各標準實數一一對應定理”；假N及偽二重、偽≌點集；直線（段）的伸縮變換；有序連續變化的變化規律
一、導言：“太狂妄無知”的“反科學”發現來自太淺顯的數學起碼常識
美國著名數學史家M•克萊因教授很有代表性地斷定：“實數系統已經用了五千多年，無數關於實數的理論均被證明，仍未發現任何矛盾。實數公理產生了許多著名定理，…[1]”。本文和[2][3][4]表明：五千年都無人能發現關於自然數的理論有任何矛盾≠其真的沒矛盾而是一直存在一系列尖銳矛盾,只不過一直缺乏發現尖銳矛盾的慧眼罷了；存在矛盾的原因是認識自然數已有5千多年的數學一直不識“更無理”的標準無窮大自然數從而將“自然數集”N外自然數誤為N內數從而將似是而非的假N誤為N，進而將非可數集誤為可數集。癥結是不知R僅是標準實數全體的滄海一粟（本文揭示標準分析與非標準分析等價的原因是標準分析一直在用而不知地使用R內、外標準無窮小、大數）。公元前1100年中國人商高同周公的一段對話談到了勾股定理說明人類認識幾何學的直線段起碼已有3000多年。
二、可看圖識“字”：組織結構不同的點集必有根本區別——非保距變換必打破點集的原有組織結構
人的骨頭A得了骨質疏鬆病變為B，肉眼看B=A，但其實兩者有根本區別。有了電子顯微鏡使醫學發生革命飛躍，同樣，深入到“點”這一層次上來研究圖形讓中學生也能一下子認識3000年都無人能識的偽二重直線段（見第二節）。
何謂質點？愛因斯坦：“一個大小可忽略不計的物體，就作為一個點。”（《愛因斯坦文集（一）》204頁，中譯本，1976年）天體力學中的地球可是質點。因與x∈R相異或相等的實數均可表為y=x+δx（δx可=0也可≠0）故x變換為實數y=y（x）=x+δx（δx=y（x）-x是x的函式）的幾何意義可是：一維空間“管道”g內R軸上的質點x∈R(x是點的座標)沿管道g移動變為還在g內的點y=x+δx，即實數的改變可形象化為g內質點的位置的改變（設各點只作位置改變而沒別的改變即變位前後的質點是同一質點）。《複分析視覺化方法》是複分析領域的一部名著，其公開挑戰當前佔統治地位的純符號邏輯推理。顯然沒有寬度的曲、直線和沒大小的“點”是沒有形象的，從而是不可視的。R可形象化為R軸, R各數x可形象化為 R軸各點；變數可形象化為g內的動點。數學的圖形可是離散的點的點集，例將R軸一切非整數點都挖去得到的點集是離散的點的點集。有了各點還須有規定各點如何排列、聚集的法則才能確定一點集；點還是這些點，但其可聚整合長度為c的直線段A也可聚整合曲線段等等，正如同一堆磚頭可組成平房也可組成樓房一樣，A還可伸長（壓縮） 變長（短）為新線段(～A)還由A的全部點組成。極顯然：R軸上的點集E：……（這不是省略號）各點之間任意交換位置後還是原點集E，但點與點之間的距離變大（小）後（集的組成成員沒變但組織結構變了）就不能還是原點集了。將R軸各無理數點都挖去就得有許多“漏洞”的有洞直線。同樣可將點集E看成是有洞閉直線段。看E可悟出h幾何重要原理：直線段A的組成成員不變，但任兩異成員之間的距離一發生改變就必使A變為B≠A；因不改變組成成員的變距變換必改變點集的組織結構。要注意集的組成成員與集的元素是有根本區別的，例N各元n變為1組成的集由無窮多個1組成，但其元卻只有一個。
一杯水是水分子的集合A，A平移到新位置成A′或A變成水蒸汽B還是由A所有水分子組成的集，這平移只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結構，而B就與A有不同的組織結構從而使B中與A形狀（杯形）、體積相等的部分≠A。保距變換是剛體運動從而不改變點集的組成成員和組織結構。在紙片A上畫上幾個質點形成一點集。將A掛在畫有直角座標系的黑板上後再讓A沿黑板不斷移動（保距變換），此時各點的位置座標不斷變化但點集的組成成員、組織結構、各成員(所畫上的那幾個點)之間的距離關係，始終都沒變。這說明：質點的座標與質點本身有根本區別從而使質點集有數集所沒有的獨特性質。數形結合須躍出根本誤區。
減員變換及壓縮變換都可使直線段A=[0，2]⊂x軸變短：將（1，2]⊂A挖去，A就變短為[0，1]⊂A，這是不改變點集的組織結構的減員變換；A各元點x沿x軸負向平移（各元點只是改變位置）變為點y=x+δx=0.5x得元為點y的B=[0，1]⊂相應數軸即A 收縮變短為B，這是不改變點集的組成成員但改變組織結構的變換。點還是這些點∈A，但其按減小兩異成員間距的排列、聚集方式重新排列、聚集而成的點集是B。
三、初等幾何最最起碼常識推翻初等幾何2300年“最起碼常識”：等長直線段必≌——百年病態集論的癥結——讓3000年都無人能識的直線段一下子浮出水面
設集A=｛x｝表A各元均由x代表，變數x的變域是A。同一字母x可代表1也可代表2等等，同樣，為簡便起見本文中同一字母（例A）在此場合代表某集，在彼場合可代表另一集；設各函式的定義域均可由D代表。
有人體穴點陣圖A和B，A（B）中各穴位p（p′）到太陽穴p0(p0′)的距離是變數ρ（ρ′）≥0，若B≌A則顯然ρ′與ρ必是同一變數，p0與p0′互為合同對應穴。
h定理1：若點集A（至少有兩元）各元點x保距變為點x+δx=y（x）生成B=｛y（x）｝≌A則A各點x到A任一固定點x0的距離ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元點y（x）到元點y0（x0）（點y0與點x0互為合同對應點）的距離，即ρ′與ρ是同一距離函式。同理A與B≌A可是二、三維空間點集，…。
證：由A≌B的定義ρ′=ρ。同理…。證畢。
x軸各點x沿x軸方向保距平移變為點y=x+δx=x+非0常數c生成元為點y的y=x+c軸即x軸沿本身平移變為y=x+c軸。區間[0，1]表示0與1及0與1之間所有陣列成的集，但要注意後文表明[0，1]與[0，1]⊂R或R′等，是不同區間；...。應注意：0≤x≤1和0≤y=x+1≤1（-1≤x≤0）中括號外的x和y=x+1的變域均為區間A=[0，1]，y=x+1中x的變域W=[-1，0]可平移距離1變為A。A=[0，1]各元是x=h，A各元也可是y=x+1=h，當y中x=y-1的變域是W時。所以元為x的W變成元為y=x+1的A這一變換是W平移距離1的變換，而元為x=h的A變成元為y=x+1=h的A這一變換是恆等變換。所以C=[0，1]⊂x軸各元點x=μ到C的中點x=1/2的距離ρ=|x（=μ）-0.5|，元為點y=x+1的B（=C）=[0，1]⊂y=x+1軸各點y=x+1=μ到B的中點y=1/2的距離ρ′=|y（=x+1）-0.5|( x+1=μ)=ρ；同樣...。要注意閉直線段E≌E′且E∥E′∥x軸中E的左端點與E′的左端點不一定是合同對應點；...。將非合同對應點誤為合同對應點就會得錯誤的結果。詳論見[4]。
x軸即R軸各點x沿x軸方向不保距平移變為點y=x+δx=0.5x生成元為點y的y=0.5x軸即x軸壓縮變換為y=0.5x軸疊壓在x軸上。自有函式概念幾百年來數學一直斷定:定義域=[-2，2]⊂R的y=x/2=0.5x的值域=[-1，1]⊂R。這一中學幾百年函式“常識”其實是違反初等幾何最最起碼常識e的肉眼直觀錯覺。直線段L=[-2，2] ⊂x軸有子部D=[-1，1]⊂x軸，L各元點x沿x軸平移變為點y=x+δx=0.5x得元為點y的線段D′（～L）=[-1，1]⊂y=0.5x軸。2300多年初等幾何“最起碼常識”：～L的D′=D≌D其實是肉眼直觀錯覺。理由：①保距變換將直線段A的中心點變為新線段B≌A的中心點即若A≌B則A的中點與B的中點必互為合同對應點。假設D′≌D成立則據h定理1相應的距離ρ=ρ′；然而D各點x到D的中點x=0的距離ρ=|x|，D′各點y=0.5x到D′的中點y=0的距離ρ′=|0.5x|≠ρ；故假設不成立即D不≌D′。據起碼常識eD′≠D。顯然若y=0.5x軸=x軸則D′必=D。上述h幾何重要原理表明x軸與y=0.5x軸表面看來重合，但其實兩者有不同的組織結構；因x軸是均勻壓縮變換為y=0.5x軸故D′⊂0.5x軸與D⊂x軸有不同的組織結構從而等長卻不≌。②據下述h定理2D′～L與D⊂L等長卻不等勢從而不≌。③後文證明了D有最小正數點x=⊕，而D′有最小正數點y=0.5x=0.5⊕。將3斤重的一包餅乾A壓縮成壓縮餅乾B使B的體積遠小於A的體積，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結果...。這是致命錯誤。同樣線段L被壓收縮成與D⊂L等長的D′～L不能成為L的一部分D，中學的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯誤，其使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態“定理”：L～D⊂L。
x軸伸縮變換為y=kx軸（正常數k≠1），有等長線段：A=[a，b]⊂x軸和B=[a，b]⊂y=kx軸（[a/k，b/k]⊂x軸各點x不保距平移變為點y=x+δx=kx組成元為點y=kx的B⊂y軸），A各點x到A 的中心x=（a+b）/2=v的距離ρ=|x-v|而B各點y=kx到B的中心y=kx=v 的距離ρ′=|kx-v|≠ρ；據h定理1A不≌B。故A與B是3000年都無人能識的貌似重合的偽二重點集、偽≌點集；這說明有無窮多等長卻互不≌的直線段。可見初等幾何最最起碼常識e凸顯初等幾何“最起碼常識”：等長直線段必≌其實是“以井代天”的2300年“井底蛙”誤區。這誤區使中學將偽二重點集、偽≌點集誤為二重點集、≌點集從而有一系列搞錯函式的值域的幾百年重大錯誤——百年病態集論的癥結。搞錯變數的變域是導致全盤皆錯的最重大根本錯誤。
四、不知有假N使初等數學有幾百年重大錯誤：將兩異數列誤為同一數列——同是無窮數列，此列的項可多於彼列的項
設F=｛（x，y=x）｝表F 是元為有序數偶的數偶集,但F同時也可是以數為元的數集F=｛（x，x）｝=｛x｝，由一對對陣列成的集可稱為數偶集；G=｛（x，y），（，y）｝表G是由有序數偶和 “單身”數y組成的混合集（可規定單身y只能與F內數偶中左邊的數x配對）。其餘類推。
數列N=｛0，1，2，...，n，...｝的偶數n=2p=0，2，4，...和奇數n=2p+1一樣多使N可是數偶序列N=｛（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…｝，N各數n變為其後繼n+1後再增添新首項0得有“單身”數0的混合數列（集）N′=｛0，（1，2）（3，4）（5，6）…｝；“拆東補西”地讓一奇數x與偶數0配對，x的原“配偶”就成一新單身偶數。故N′各偶、奇數無論怎樣重新配對後都保持有一單身偶數從而使N′不能成為數偶序列。為什麼？因N′中偶數比奇數多(可見N′一切偶陣列成的無窮數列的項多於一切奇陣列成的數列的項)從而使N′各數不可兩兩配對；而N各數可兩兩配對——表明N′≠N，N′是似是而非的假N！“拆東補西”不能使N′各數兩兩配對這一配對常識表明N′各奇數x改與其左鄰的偶數x-1配對使各奇數都有新配偶後必有一偶數x-1∈N′成新單身（N′各數不可與N′外數配對），所以新單身x-1的後繼x（奇數）ÏN′。故“只要改配對法則就能使N′內奇數與偶數一一配對”是被拆東補西術迷惑而將N′外數誤為N′內數。詳論見[2]。自有無窮數列（集）概念幾百年來數學一直不知有偶數與奇數不一樣多的假N使初等數學一直誤以為N′=N，從而使級數論有幾百年重大錯誤：將兩異級數誤為同一級數。
各點按規定進入各指定位置才能形成一點集。R軸各點x都在位置x內而與該位x結成對子（點x，位置x），挖去R軸一個點x就留下一個“洞”：單身的位置x，故R軸是元為對子的對子集。挖去R軸一切點就留下“空洞”集K～R。上述配對常識表明挖去R軸一個點x，剩下的點x就不可填滿K～R的洞（一點只填一洞）, 挖去R軸一切非自然數點x，剩下的自然數點x=n不可填滿R軸的位置洞∈K。這說明R失元變為R的真子集的元必少於R的元。
五、“配對”常識推翻“人類最偉大的創造”讓5000年都無人能識的自然數一下子暴露出來推翻百年自然數公理
h定理2：任一無窮集W的真子集w⊂W的元必少於W的元使w不可～W，故若A～W 則A 的元必多於w⊂W 的元使A≠w⊂W。
證：各x變為y=x是恆等變換。數集W各元x變成數偶（x，y=x）組成數偶集F={（x，y=x）}，設x是數軸上的點的座標，y=x是點x所在位置“洞”的座標，從而F的元是（點x，位置洞y=x），點x的全體是點集W，...。挖去F部分點，剩下的點不可填滿F的洞。挖去F部分（點）x=τ就使F變為有單身的混合集G=｛（x，y=x），（，y=x=τ）｝，拆東補西地讓一非單身x與一單身y=x=τ配對，x的原配偶y=x就成新單身。故無論怎樣改配對法則重新配對都不能改變G中x方總可無單身而y方總有單身這一格局（這裡的關鍵是不可讓F外數“混進來”參與新配對），原因顯然是G中的“洞”y比點x多。這說明W（=W∪W={（x，y=x）}={x}）失元變為w⊂W的元必少於W的元。證畢。
若正數x≡k（x/k）=ky則x>0必有對應數x/k=y，凡是<x的正數都可表為y=x/k（k>1），若x≡（kx）/k=y/k 則凡>x的數都可表為y=kx>x>0。
A一元x按變換法則f變為y=f（x）而另一元x+△x按≠f的變換法則g變為y=g（x+△x），這是不同的元按不同的變換法則進行變換的變換。比x>0小的正數都可表為y=x/k（常數k>1）。｛x｝=｛0.1，1，7｝中的x=7變小為f（x）=x/k=x/7=1（x=7，k=7），x=1變小為g（x）=x/2=1/2=（x=1，k=2），x=0.1變小為h（x）=x/10=0.1/10=0.12（x=0.1=1/10，k=10）；這是各元x>0保序變小為原來的1/k的變換即變為y=x/k，但各x不是按同一變換法則進行變換。注：各點（x，y=x/k）（k=7，2，10）分別是各直線y=x/k的元點。
h定理3：有最小（大）元的無窮數集A各元x若均有對應數y（x）>（<）x則必至少有一對應數y在A外。
證1：A各元x保序變大（小）為y=y（x）(不一定按同一變換法則進行變換)>（<）x組成B=｛y｝～A（保序變換是一一對應變換），因A有最小（大）元故B≠A；據h定理2B～A不是A的任何真子集——說明≠A的B各元y不可均∈A而必至少有一y在A外。
證2：不等式起碼常識：x<y（x）中：變域為A 的x可遍取A一切數x使y（x）必可遍比A一切數x都大而取A外數；“對A國一切人x都有人y比x高”就是說有人y高於A國一切人x，“對A一切數x都有變數y（x）>x（注：“常數”是其變域內只有一個數的變數）”就是說y可>A一切數x而取A外數。同樣x>y（x）中：......。此起碼常識是否成立的問題是“光身皇帝”是否光身的問題。關鍵是連文盲也知“一切”的確切含義。
證3：高等數學是研究變數的,而凡變數必有變域，變數必可遍取其變域的一切數。設c是A最小元，區間Q=[c，x]∪[x，y>x]中變域為A的x由小到大遍取A一切數x時Q的子區間[c，x]的長度由=0開始逐漸變長而長到包含A一切元x∈[c，x]，據中學的區間概念在包含A一切元的[c，x]（x的變域是A）之外必還有數y>x大於A一切數x。同樣設d是A最大元，Q=.......。證畢。
R⊃N各元x均有對應標準數x+1和2x以及xn（自然數n≥2）等等。挖去N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N。據h定理3有最小元的N各元n變大為其後繼y=n+1形成後繼集H={y}～N中必至少有一元y=y0=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω顯然是N的最大元，因其後繼y0在N外。5000年都無人能識此Ω（與1∈N相隔無窮多自然數∈N）使中學一直將N外數誤為N內數從而將H～N誤為N的真子集N+。顯然Ω和Ω±1等等均是標準分析一直用而不知的N內、外標準無窮大自然數，其倒數是一直用而不知的無窮小正數＜任何有窮正數ε。發現Ω說明“數列N無末項”這一中學數列、函式“常識”和“沒標準無窮大自然數”這一5千年數學“常識”其實都是重大錯誤；所以須重新認識級數論。詳論見[2][3]。R所有非負元x≥0組成R+，據h定理3有最小元的R+各元x≥0的對應數y=x+1>x中必至少有一y>x在R+外而>R+一切元 x，其倒數是無窮小正數。
數集A由一個個給定（固定）的陣列成。“在A內任意取定一個數x”中的x可是A的任何元，因x是在A內任意取的數。對百年極限論最關鍵要弄清j式：“0＜正無窮小ρ＜“任意取定”的正數ε”中的ε是在哪一範圍內任取的數？是在區間（1，∞）內任取？還是在（0，1）內任取？...？至少能代表兩個數的字母x是變數，因ε可=0.1也可=0.2等等故ε是變數。凡變數必有變域，能由j式中的ε代表的數的全體就是ε的變域，可記為∑。所以極限論中的ε是在∑內任意取定的數。若x∈∑則稱x是有窮正數。若標準正數x＜∑任何元ε則稱x是標準無窮小正數（其倒數是無窮大正數），正如非標準分析將＜R任何正數的正數x稱為非標準無窮小正數一樣。若y/x≠無窮大（小）數就稱y≠與x≠0是同一層次的數，簡稱同層數，否則，是非同層數。不同層次的數有無窮大的差別。量變引起質變，一說到“無窮”就有質的對立的根本區別了。
要注意變集與固定集的區別。A的元若有增（減）則必使A變為其真擴（子）集。不斷增元（項）的數集（列）A是變數集（列），故若A是固定的，則A的元（項）是沒有任何增減的。其項不斷由n個增加到n+1個的數列是變數列B：由{0}變到{0，1}變到{0，1，2 }變到…，當且僅當其項不再增加而有末項時B才成固定數列N。“潛無窮”觀認為不可有包含無窮多個項的固定數列，“實無窮”觀認為可有此類數列，但又斷定其沒末項；這是不合邏輯的自相矛盾。由小到大取值且變域為無窮集W=[a, b]的x必有最後一次的取值即其取數過程是有完有了的（“潛無窮”觀認為不可有包含無窮多個元的集）。這是“無窮”與“有窮”的對立統一性在數學中的生動體現。同理，人不能遍取N一切數，但人所創立的符合實際的抽象理論中的變數n≥0卻能由小到大遍取N一切數，正如人造的機器人能幹人所不能幹的事一樣。關鍵：對人而言N內數多得取之不盡，但對n≥0而言N內數是可取盡的。所以真正的無窮集N是“有窮”與“無窮”的對立統一體，它的“無窮”是對人而言而非對變域為N的n≥0而言。所以不能認為 “固定的無窮數列N有末項是不合邏輯的自相矛盾”；恰恰相反，“N無最大元”才真正是不合邏輯的自相矛盾。抽象的R軸上有抽象的點x=Ω。
A=[0，b]⊂R軸的點x=0不動，點x=b沿R軸正向移動就使A不斷增元變為其真擴集B，當點x=b與點x=0的距離是無窮大時B就變為射線；若點x=b總是移動則射線B就不是固定的點集而是不斷增元的變集，當且僅當其不再移動時B才是固定點集。
六、作為“實無窮”點集的直線其實是無窮長直線段從而使其伸長（收縮）變換前後有不同的長短——直線公理及由其推出的“定理”嚴重歪曲了事物的本來面目
（0，1]⊂R有“更無理”最小元⊕的理由：
⑴A=（0，1]⊂R有元x>0因不“太小”而有性質a：在0與x>0之間至少有一數∈A即在各＜x的正數y=x/k（常數k>1）中至少有一y∈A。A一切具有性質a的元x>x/k∈A組成B⊆A，問題是A是否存在沒性質a的“太小”正數xÏB？因B各元x>x/k∈A故B各元x可變小為y=x/k∈A。有最大元x=1的B各元x變小為y=x/k∈A（不一定按同一變換法則變小即分母k可隨分子x的取值的不同而不同）組成C={y}⊆A,據h定理3C各元y∈A並非均∈B而必至少有一y=y0∈A在B外,這B外y0∈A是A中沒性質a的“太小”正數——小到使各比y0小的正數y0/k中只有0個數∈A從而使y0∈A是A最小元y0=⊕。
⑵自由落體的高x≥0是由大到小取值的變數。⊥地平線的R軸即x軸的原點x=0在地平線上，由大到小取值的動點x≥0到點x=0的距離是x≥0，當且僅當距離=0時動點x與點x=0重合。稍有一點頭腦的人都知道由大到小取值的“距離函式x≥0不取盡變域U的一切正數就絕不能取0即必取到無正數可取了才取0;然而有數學定理斷定此x由1→0時總與0至少相隔一正數如x/2∈U而始終不能取到無正數可取——從而更不能取0——尖銳矛盾——由數學定理竟推出數學的動點、物理的質點根本不能動!運動存在的事實決定了R軸必有最小正數點。另一方面因軸是連續的，故沿軸動的點x從原點O→x=1處不經過與O只相隔1個、2個、…有窮多個點∈軸的階段就絕不可進入與O相隔無窮多個點∈軸的階段，但有數學定理斷定動點能到達的各正數點位置x都與O相隔無窮多個正數點∈軸——顯然抹殺了x有序漸變的連續變化性（1999.11《揚子晚報》等報曾報道稱黃乘規“成功論證了數學史上關於不可分割的連續體的猜想”）[5]。”。而且自然界中既有飛躍性的突變，更有“冰凍三尺非一日之寒”的漸變。
R有“更無理”最大元R的理由：
R一切≥1的數x≥1組成Z⊂R。將>x的數稱為x後面的數。Z有元x≥1因不“太大”而有性質b：在x後面的數y=kx（k>1）中至少有一數y∈Z。Z一切具有性質b的元x<kx∈Z組成B⊆Z，B各元x可變大為y=kx∈Z。有最小元的B各元x∈Z變大為y=kx∈Z（不一定按同一變換法則變大即...）組成C={y}⊆Z,據h定理3 C必至少有一元y=y0∈Z在B外而>B 一切元x；這B外y0∈Z是Z中沒性質b 的“太大”正數——大到使y0後面的數ky0中只有0個數∈Z從而使y0∈Z是Z⊂R最大元y0=R。
R軸即x軸沿本身平移變為y=x+δx=x+c（常數c≠0）軸，x軸壓縮變換為y=0.5x軸（不≌x軸）疊壓在x軸上。初等幾何2300年“最起碼常識”：至少有兩個公共點的直線必重合。據此，初中幾何有直線公理（有書“證明”這是定理）：過空間兩異位置點有且只能有一條直線。發現R說明作為“實無窮”點集的直線A其實是無窮長直線段從而使其伸長（收縮）變換前後有不同的長短（伸縮係數≠0），且A沿本身平移後就≠A了。所以“據直線公（定）理x軸=x+c軸=0.5x軸”其實是中學重大錯誤。伸縮變換是改變點集的組織結構的變換，故伸縮前後的直線若組成成員相同則組織結構不同，兩者是“同分異構”體。所以y=0.5x軸不≌x軸的原因是兩軸有不同的組織結構。
研究圖形A的投影T非常重要，T隨A的連續運動而連續運動。電燈在斷電之前一直都那麼亮，而一直通著電的手電筒的光亮度d是隨著電池的電量的減少而逐漸變小直至變到d=0；後者是有序漸變。複平面z=x+iy的x軸即直線z=x繞點z=0逆時針旋轉θ角（00≤θ≤900）變為直線B：直線z′=x（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=u+iv（相應有u=xcosθ軸），θ=00時直線B=x軸而在x軸的正投影T=x軸，轉角θ由00→900使B由∥x軸變到⊥x軸，B在x軸的正投影T隨之就從T=x軸開始連續不斷地收縮變換成T=u（=xcosθ）軸（0≤收縮係數cosθ≤1），最後收縮成“一點” T=u=xcos900=0。T由=x軸（長度是無窮大）開始收縮變短最後縮短到只有一個點的長度，這種有序連續變化的變化規律必是逐漸變短：T先與x軸有較小的長度差別（θ≈00時）然後再有較大的長度差別，再後有無窮大的長度差別，最後縮短成“一個點”。這就使x軸必有縮短為原長度的1/n（n≥2）的階段。所以x軸不經過縮短至=區間[-1,1]⊂u軸等的階段就絕不可進入最後縮短至“變為一個點”這一階段，正如可=0的有序連續變化的變數x由正數變為負數時必先=0然後才能=負數一樣，正如一人不經過兒童期就絕不可進入少年期一樣。可見連續運動、變化的有序漸變的性質從一側面間接表明x軸收縮變換為u=xcosθ軸（正常數cosθ<1）必短於x軸。直線公理斷定直線T=x軸在縮短成“一點”之前的各次收縮變換後總=x軸（注：運動的直線可暫時固定一下），無異於斷定T的收縮變化不是有序連續變化。這公理嚴重歪曲了事物的本來面目，正如“一個什麼都不懂的嬰兒在變為科學家之前的幾十年間一直≡嬰兒，只要其達到一定年齡的某一天就突變成科學家。”嚴重歪曲了事物的本來面目一樣。產生邏輯悖論是因主觀認識與客觀實際不符。由錯誤的公理推出的“定理”必是偽定理。
文[4]還指出數學一直存在：連續運動悖論；不推翻百年集論糾正中學數學一系列重大錯誤就不能消除此悖論。
顯然應有h幾何起碼常識：A各點按同一變換法則保距運動後回到原位置才能使運動前後的點集重合。
複平面z中圓心為點z=z0=0的單位圓盤A⊂z面：|z|≤1若單獨平移變為圓心為點z1=3的單位圓盤B⊂z面，則z面就出現個單位圓盤“大洞”“傷口”，正如一人像的頭部被單獨移去就使該像缺了頭部一樣。z面沿x軸正向平移距離ρ=3變為平面w=z+3就使圓心為點z0=0的A平移變為圓心為點w=w0= z0+3=3的單位圓盤A′⊂w面。據h最幾何起碼常識若w面與z面重合則其各自的子部：A′與A必重合，故由其不重合知w面≠z面！且平移的距離ρ≠0也說明z面已發生了位移而非“原地不動”。道理非常簡單：說始終沒有任何“傷口”的z面與w=z+3面重合就是說z面沒有動，那作為z面的一部分的A當然也就必沒動，否則A就不是z面的一部分了，故由A發生了位移推知w面與z面不重合，否則就違反邏輯學起碼常識了。關鍵：若z面不動則A⊂z面也必不動，若A單獨平移則z面必出現“傷口”。因平面由相互平行的直線組成，故據直線公理可推出“定理”c：w面=z面。這就是說z面各點z平移變為點w=z+3還回到原來的位置即說平移的距離=0；這顯然是與事實不符的非常低階錯誤。上述分析表明直線公理和“定理”c嚴重歪曲了事物的本來面目，正如“一個完整的人在廣州沒有動的同時又發現他的頭部在北京”是歪理邪說一樣。由錯誤的公理推出的“定理”必是偽定理。產生邏輯悖論是因主觀認識與客觀實際不符。產生出“高深莫測”的“w面=z面”理論的癥結是數學一直不知R有最小、大正數元從而誤以為R是無界集，繼而將已發生了位移的“無界”圖形誤為還在原位。否定無理數使數學自相矛盾，否定“更無理”數R及R後面的數，使數學出現違反幾何、邏輯學起碼常識的尖銳自相矛盾。
顯然R無窮大倍於1，可記為R>>>1。z面可收縮成w=z/k（正實固定數k>>>1）面疊壓在z面上。上述單位圓盤A⊂z面若單獨收縮成圓心為點w0=z0/k=0（z0=0），半徑為1/k≈0的圓盤K⊂w面（即A收縮成≈它的圓心點）則z面就出現個≈單位圓盤的“傷口”。z面收縮成w=z/k面使圓盤A：|z|≤1隨之收縮成圓盤K⊂w面：|w=z/k|≤1/k≈0。據直線公理說w面=z面就是說始終沒任何“傷口”的z面沒任何變動。但事實上作為z面的一部分的A收縮成K表明w面與z面不重合，否則就違反邏輯學起碼常識了。不符實際的思想必自相矛盾不合邏輯。癥結是數學一直不知R有最小、大正數元從而不知過點z=0的直線收縮前後不相等。否定客觀存在的正實數及其倒數猶如醫學否定前所未見的非典病毒，是致命錯誤。
七、不識“更無理”數⊕就不能從數、數量關係的高度上來闡明近似計算常識——已知標準實數全體R遠不夠用
高等數學是研究變數的,需研究兩非0變數例△y與dy能否近似相等?正變數β=α+ (β-α)中的差β-α=δα若=0則β=α，若δα≈0（與α≠0相比）則β≈α+0；說δα能不受任何限制地距0任意近就是說α與β能趨於重合相等沒差別（從而有β≈α+0）使α/β能→1。顯然說δα的變域是區間（0，1]等，就是說δα必能距0任意近，因其能取一切≤1的正數等。β與α總不近似相等的原因是它們的差δα總距0遠而不近從而不可視其為0而忽略。
直線段L：α β（α與β是點的座標）兩端點α與β=α+δα總不能近似處於同一位置的唯一原因是長為|δα|的L總太長——長到使α≈α+δα總不成立。顯然存在動點α的某充分小鄰域U使U內各≠α的動點α+δα均≈α。顯然若可→0的δα遍取R一切非0數都遠不可有β≈α則必說明R各非0數相比下都距0極遠——間接說明R遠不可包含一切非0數。肉眼看兩星星近似處於同一位置，但用天文望遠鏡看兩星相距甚遠。在光年尺度下北京與廣州近似處於同一位置，但在公里尺度下兩地相距極遠；只認識光年尺度是遠遠不能滿足實際的需要的。同樣在某“更無理”尺度下有兩動點α與β=α+δα的非0距離|δα|（→0）雖＜“任意取定”的正數ε，但“β≈α”卻遠不成立。對錶示距離的正數的大小不能只有一知半解的膚淺認識。
R軸的射線R+各元點x≥0不保距平移變為點y=x+δx=x2≥0組成元為點y的｛x2｝=Y（不≌R+）疊壓在R+上，說R+=Y就是說Y是射線R+。“區間A=[0，1]⊂R+各元x不保距變為y=x+δx=x2生成元為y的B(不≌A）=[0，1](⊂Y) =A”這一中學幾百年函式“常識”其實是違反初等幾何最最起碼常識e的肉眼直觀錯覺。理由：⑴據幾何最最起碼常識e因B不≌A故B≠A。⑵A=[0，1]⊂R+有最小正數元x=⊕（是＜任何ε的標準無窮小正數）而無窮大倍於B的最小正數元y=x2=⊕2（1/⊕是無窮大數）——直接說明A各正數元x相比下均是極大正數從而必有正數≪A一切正數。⑶高精確度的近似計算中凡有正實變數不可忽略必表明其相比下總距0極遠使其變域Π各數相比下全都是極大正數從而必有（未知）正數<Π所有數，因有大必有小。y=x2+x中變域為D=（0，0.0001]⊂R的一次項x（正無窮小）→0總不可忽略說明D各數x≫x2>0相比下全都是不可忽略的極大正數——間接表明必有正數<D所有數。此x→0的一面掩蓋了其有相比下總距0極遠的無限變大的另一面：x/x2=1/x→∞顯示變域為D的分子x→0與分母x2相比越變越大，無窮變大；不識“分子也是無限可分的”就不知分子也有“無窮大”的另一面，不識“更無理”數使人們不能察覺x→0有總極大不小的另一面而誤以為其能任意變小。鮮明對比的是差y-x=x2→0就可距0充分近——近到可視其為0使有y=x2+x≈x的程度，從而使tanθ=y/x≈x/x=1,θ≈45°。可見“D=（0，0.0001]，R包含一切標準實數”這一中學“常識”與近似計算常識激烈“打架”。可見不識⊕就不能從數、數量關係的高度上來認識與闡明近似計算常識從而對近似計算只知結論不懂原理。堅持認為“y-x2=x→0必能小到可視其為0而忽略使有y≈x2+0的程度”是非常低階錯誤。小學生都知大小懸殊的兩正數：y=x2+x（正數x≪1）與x2是遠沒近似相等的關係的。誤以為y≈x2就會誤以為tanθ=y/x≈x2/x=x≪1從而誤以為θ≈0°。
x>0與y>0可是一“微分直角△”的直角邊的長，小學生都知若x千萬倍於y則x與y遠沒近似關係。近似計算常識：約萬倍於y=α/104的x=α+α/104=α（1+1/104）≈α>0與y總遠無近似相等關係的原因是差x-y=α>0（變域是R+-｛0｝）總距0極遠——說明R+各正數α≫α/104>0相比下全都是極大正數——間接說明R+遠不可包含一切標準正數；而⊕≫⊕/104>0就直接說明此事實凸顯中學“R+含一切標準正數”是重大錯誤。
八、不識⊕使300年微積分一直存在尖銳自相矛盾。
不識⊕與R使中學幾百年解析幾何一直將無窮多各異直線誤為同一線：R軸；繼而將無窮多各異平面誤為同一面，再繼而將無窮多根本不是R×R面的子集誤為其子集。
R各元x變為cx=y（正常數c≠1）生成元為y的集可記為cR=｛cx｝。R軸與cR軸分別有最小正數點⊕及c⊕使R軸≠cR軸。發現⊕與R說明R×R平面是邊長為2R的無窮大正方形且說明平面上過原點x=y=0的直線中除了R軸和直線y=±x是平面的子部外，其餘直線都平面，而定義域為R且過原點的連續曲線y=y（x）都平面；......。中學認定直線y=0.5x（x的變域是R）是平面的一部分。其實由點（x，y=0.5x）=（⊕，0.5⊕ÏR）ÏR×R面就知直線y=0.5xR×R。注：點（⊕，0.5⊕∈0.5R）∈R×0.5R面。用鋼筆在人體上畫出的圖形不可是人體面板的一部分;同樣，附著在R×R面上的直線y=0.5x不是該面的一部分,附著在x軸上的上述線段D′⊂0.5x軸不是x軸的子部D；...。定義域為R的直線y=kx（正數k≠1）中y的值域是kR≠R說明該線R×R面。
不知光滑曲面的充分小子部≈相應切平面塊就沒有曲面積分論。曲面z=y+104x2-x2（z的麥克勞林級數是z本身）的切平面是z=y+0x=y，切點是O（0，0，0）。微積分有“△z≈dz”論：定義域是R×R面的點函式：曲面z=f（x，y）≈y（切平面z=y），在點（x，y）=（0，0）的某充分小去心鄰域U⊂R×R內，即若（x，y）∈U則z=f（x，y）≈y。當點（x，y）中的y=x2>0時z=y+104x2-x2=104x2≫x2=y>0即z=104x2>0萬倍於y=x2使z≈y=x2>0遠不成立。據“z≈y”論拋物線q：y=x2>0的各元點（x，y=x2）都在U外，然而微積分又斷定q是R×R面的子部從而U必含q的點。這就構成300年微積分一直不能化解的“△f≈df反例”尖銳自相矛盾。癥結是中學幾百年重大錯誤a：斷定定義域為R+的y=x2≥0的值域也=R+。其實由點（x，y=x2>0）=（⊕，⊕2ÏR）ÏR×R就知qR×R。若“△f≈df”論不成立則以其為依據推匯出來的曲面積分論也不成立。尖銳矛盾是否存在的問題是“光身皇帝”是否光身的問題。“大人”們堅持說104x2≈x2>0成立無異於說104x2/x2≈1；小學生都不會犯的錯誤啊！
需研究函式在一點鄰近的性態。△z=dz/1!+d2z/2！+d3z/3！+…往往是很複雜函式而不能計算出其精確值。故不懂近似計算就不能瞭解曲面z在一點鄰近的結構與形狀。研究z在切平面的上方還是下方對於正確畫出z很重要。很複雜的M=△z-dz>0時z在切面的上方，<0時z在切面下方。微積分斷定非0函式M（△x，△y）=d2z/2！+d3z/3！+…能高精度地與首項近似相等從而與首項同號，在點△x=△y=0的某充分小的（去使d2z=0的點）鄰域I內。所以有：z(x ,y)=y2-9x4（點（x,y）的變域是R×R，z的麥克勞林級數是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y=0，切點是O（0，0，0））與首項y2>0同號使zy2=（y2-9x4）y2>0………A,在（0，0）的某充分小的（去y=0的點）鄰域I內。將y2=x4>0代入A式則該式不成立說明曲線y2=x4即y=x2>0的元點都ÏI！誤以為其有元點∈I就會搞錯z的正負號而不知曲面z中以元點O為心的充分小子部中各除y=0的元點都在切平面z（x，y）=0的上方。然而微積分又斷定I必包含曲線y=x2>0的元點從而構成300年尖銳自相矛盾。癥結是上述中學重大錯誤a。
定義域是R的y=x2，△y=dy/1!+d2y/2!=2xdx+dx2中的dx=△x≠0是獨立變數，故△y是關於x和dx的二元函式。微積分斷定當dx≠0與0充分近時必有△y≈dy。因≠0的dx可=2（104x）→0使dy=2xdx=dx2/104故存在“△y≈dy反例”尖銳自相矛盾，但限於篇幅本文無法詳談。
自相矛盾的理論是有頭腦人無法接受的理論，從而極難學難教。
九、2300年“點無大小”公理使幾何學一直不能自圓其說
發現⊕說明R有相距最近而緊挨在一起的元：x 和x±⊕，兩者之間的距離是⊕。所以R各元x均是⊕的整數倍即x=h⊕（h是整數）。所以中學的“開區間（1，2）⊂R”其實是閉區間[1+⊕，2-⊕]⊂R；...。可畫在黑板上的“動點”是數學的研究物件，凡是可視者必有大小（可小到須放大許多倍才能被眼睛看見）。所以數學圖形應是肉眼直接可見或可用放大鏡（可是思維放大鏡）放大到肉眼可見的“東西”。“沒大小從而沒形象的點能聚整合（運動生成）有形象的直線”顯然是不合邏輯的自相矛盾概念。數形結合須躍出根本誤區。
挖去x軸全部點，x軸就變成位置洞集。“長度都=0的位置洞能形成長≠0的洞集”是不合邏輯的。暫時規定x軸各元點不可重疊(合)在同一位置上等使沿x軸移動的相應元點只能移動到空位內；x軸沒空洞使各相應元點能沿軸移動的最大距離是0，正如擠滿人的電梯內的人都沒運動的空間一樣。挖去x軸原點x=0就空出一位置洞x=0（可供點運動的空間），這有洞x軸的線段D=（0，1]⊂有洞x軸各點x沿軸負向保距平移一個點的長度距離⊕到空位內變為點x′=x-⊕形成元為點x′的線段[0，1-⊕]⊂相應軸從而又生一新空位x=1（點x=1移到空位x=1-⊕內就出現新的空位x=1），D所平移的距離⊕是容納原點的位置洞的長度。“⊕=0”就是說D能沿軸移動的最大距離是0即1-⊕=1。這與事實不符——產生科學悖論的原因。D若沒平移就不能使原有的空位x=0內又有點了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不識未知正數⊕就否認D可平移的事實。故“點無大小”是不合邏輯的自相矛盾概念(這是數形結合出現“直線段全部點可與部分點一樣多”“分球怪論”等形形色色怪論的根源)。故須提出符合客觀實際的“點”概念。“點”的問題是點集論與幾何學的最根本問題。
以上說明R軸可由長度均為⊕的點及位置洞組成，兩緊挨著的元點（位置洞）之間的距離是⊕。兩緊挨著的元點中的一點不可動，另一點可移動，因被壓縮使這兩點的距離ρ由=⊕變小為=⊕/2等，則可移動的點的部分“身子”被壓進另一點的位置Ψ內，若整個身子都被壓進Ψ內則ρ由=⊕變為=0。因“在Ψ內（外）的元點”是指整個身子都在Ψ內（外）的點，故存在既不在Ψ內又不在Ψ外而是介於這兩者之間的點。顯然x軸的元點x與一位置洞的距離≥⊕才能在該洞之外。若一個點的整個身子不能都在平面的位置“洞”內則其不能是該面的元點；與R軸元點x重合的質點x沿軸平移變為點y=x+δx=x+⊕2不可與R軸任何元點重合，因其絕大部分身子還在位置x內。不明此真相就會將附著在R×R面（或R軸）上但又不是其子部的點集誤為其子部。數形結合須躍出根本誤區。
十、結束語
錯誤的基礎教育會使受教育者打歪成才的基礎。顯然真正建立在病態集論之上的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。“人類最偉大的創造”：百多年集論百多年來浪費了億萬學生（包括物理、哲學、邏輯學專業的學生）大量寶貴時間（“時間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學費。育人課本的重大錯誤造成的重大經濟損失一點也不亞於經濟建設的重大錯誤造成的經濟損失。所以不能不撥亂反正地躍出“井底蛙”誤區創立“井”外數學，但限於篇幅本文無法詳談。破除迷信、解放思想、實事求是才能創造5千載難逢的神話般世界奇蹟使數學發生革命飛躍。王前：“當代數學大師陳省身先生曾預言:21世紀將是中國數學界在世界上發揮重大影響的世紀[6]”。
參考文獻
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